È data la parabola di equazione $y=\frac{2}{3}(x-1)(x-3)$; sia $A$ il punto d'intersezione con l'asse $y$ e siano $B$ e C $\left(\operatorname{con} x_B<x_C\right.$ ) i punti d'intersezione della parabola con l'asse $x$. Determina un punto $P$ sulla parabola che formi con $\mathrm{A}$ e $C$ un triangolo di area 2. $$ \left[P_1(1,0) ; P_2\left(2,-\frac{2}{3}\right) ; P_3\left(\frac{3+\sqrt{17}}{2}, \frac{7-\sqrt{17}}{3}\right) ; P_4\left(\frac{3-\sqrt{17}}{2}, \frac{7+\sqrt{17}}{3}\right)\right] $$
qualcuno riuscirebbe a spiegarmi il procedimento per favore? Grazie infinite
Scusa per lo svolgimento artigianale, ma era tanto tempo che non affrontavo l'argomento. Ho dovuto fare qualche prova, e magari non troverai qualche passaggio scritto perfettamente. Ho voluto fornirti la parte necessaria per trovare il punto P della parabola che assieme ad A e C formano il triangolo di area 2.
Provo a spiegarti il procedimento: una volta che hai trovato i punti A e C, questi costituiscono una base certa del triangolo. Il terzo vertice del triangolo, P può variare sulla parabola (se ne troveranno ben 4) e la sua distanza dalla retta che unisce i punti A e C, essendo perpendicolare ad essa costituirà l'altezza relativa alla base AC.
Per trovare la distanza del generico punto P(xp, yp) dalla retta uso la formula apposita, dove la retta va scritta in forma implicita. Dato che la base AC vale rad(13), l'altezza dovrà essere lunga 4/rad(13), in modo che facendo base * altezza / 2, il risultato sia 2.
A quel punto, affinché P sia un punto della parabola, devi mettere a sistema l'equazione della distanza, così impostata, con quella della parabola.
Rimane la difficoltà di dover risolvere una equazione col modulo, e con pazienza lo si fa in due momenti. 1^ soluzione: La quantità nel modulo la riscrivi come è, considerando che venga positiva 2^ soluzione: La quantità nel modulo la scrivi cambiata di segno -tutti i suoi termini ovviamente- considerando che venga negativa
Per risolvere il sistema, utilizzo il metodo del confronto
Sulle soluzioni da P1 a P4 mi sono limitato a trovare le x (e non le y), che cmq coincidono perfettamente con i valori delle soluzioni date 😀
Per trovare il punto A fai il sistema tra l'equazione della parabola e l'equazione dell'asse y (che ricordiamo essere x=0).
Per trovare i punti B e C fai il sistema tra l'equazione della parabola e l'equazione dell'asse x (che ricordiamo essere y=0).
A questo punto poni il punto P come (x,y) e calcoli l'area del triangolo PAC (trovandoti prima la base e poi l'altezza come distanza tra due punti) e la poni uguale a 2.
