Determina il punto $P$ in cui la parabola di equazione $y=x^2+1$ ha distanza minima dal punto $A(5 ; 0)$. Trova le equazioni della retta $r$ passante per $A$ e $P$ e della tangente $t$ in $P$ alla parabola e spiega il significato geometrico della reciproca posizione.
$$
\left[P(1 ; 2) ; r: x+2 y-5=0, t: y=2 x ; r L_t\right]
$$
11
punti
Livello 0
Il cursore della parabola
* Γ ≡ y = x^2 + 1
è P(k, k^2 + 1) che da A(5, 0) ha distanza
* d(k) = √(k^4 + 3*k^2 - 10*k + 26) >= d(1) = 20
Quindi il punto di minima distanza è
* P(1, 2)
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La congiungente AP è
* r ≡ y = (5 - x)/2
quindi la tangente t per P dev'essere la sua perpendicolare per P
* t ≡ y = 2*x
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By-1%3Dx%5E2%2C%282*x-y%29*%28%285-x%29%2F2-y%29%3D0%5D
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La richiesta di spiegare "LA reciproca posizione", al singolare, di un insieme di CINQUE entità geometriche
* due punti A e P, due rette r e t, una parabola Γ
sembra scritta da uno scimpanzè ubriaco: la reciprocità si riferisce a una coppia e con cinque entità di coppie se ne formano dieci.
Ah, ma l'autore poverino era troppo occupato con altri pensieri, tanto il libro si adotta comunque.
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DETTAGLI
Il minimo della distanza d(k) si ha per lo stesso valore di quello del suo radicando
* r(k) = k^4 + 3*k^2 - 10*k + 26
là dove
* (r'(k) = 0) & (r'2(k) > 0) ≡
≡ (2*(k - 1)*(2*k^2 + 2*k + 5) = 0) & (6*(2*k^2 + 1) > 0) ≡
≡ k = 1
51582
punti
Genius I
Ricordo che il punto P di minima distanza é quello in cui la tangente e la retta AP sono perpendicolari ma non saprei dimostrarlo senza le derivate. Quindi
mt = 2 a x + b = 2x
e - 1/(2x) = (x^2+1)/(x - 5)
5 - x = 2x^3 + 2x
2x^3 + 3x - 5 = 0
(x - 1)(2x^2 + 2x + 5) = 0
il secondo fattore ha delta negativo per cui x = 1
y = 1^2 + 1 = 2
P = (1,2)
36985
punti
Livello 6
