aiuto in geometria 2

Ciao Annamaria , mi chiamo Alberto 

ti propongo una soluzione per il problema 1 

Ciao

1)

Ho realizzato il disegno con il software Geogebra, e evidenziato nella barra algebra le misure dell' area del quadrato di lato RH e del rettangolo di dimensioni PH e PS. Notiamo che sono uguali, (area=8) però lo dimostriamo osservando bene il disegno.

Se congiungiamo i punti R e Q, notiamo che il triangolo PRQ è rettangolo in R, poiché costruito in una semicirconferenza e PQ (il diametro) ne è l'ipotenusa. I segmenti PH e HQ sono le proiezioni dei due lati sull'ipotenusa e RH è l'altezza relativa all'ipotenusa. E per costruzione PS=HQ. Per cui per il secondo teorema di Euclide il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è uguale al rettangolo che ha per lati le due proiezioni sull'ipotenusa.

PHHQ cioè nel nostro caso possiamo sostituire PS ad HQ.

PHPS.

E per la proprietà fondamentale delle proporzioni il prodotto dei medi risulta uguale al prodotto tra gli estremi

RH^2=PH*PS

T invio una proposta di soluzione per il problema 2

Ciao

2) Per la risoluzione di questa seconda parte utilizziamo il primo disegno, focalizzandoci sul triangolo PRQ in cui RH è l'altezza relativa all'ipotenusa, PH e HQ le proiezioni dei due cateti notando che PH<HQ ovvero PH è la proiezione di lunghezza minore. Per cui possiamo scrivere i dati in questo modo:

HQ=RH+8

PH=RH-6

L'incognita è la misura dell'ipotenusa ovvero del lato PQ del triangolo che è uguale alla somma delle due proiezioni. 

Poniamo RH=x e riscriviamo i dati in funzione di x:

HQ=x+8

PH=x-6.

Ora applichiamo il secondo Teorema di Euclide enunciato anche nella prima parte: il quadrato dell'altezza relativa all'ipotenusa è uguale al prodotto tra le proiezioni dei due cateti

x^2=(x+8)(x-6)

Svolgendo i calcoli,ovvero, dopo aver moltiplicato le due parentesi a destra dell'uguale, ci accorgiamo che i termini di secondo grado si semplificano e resta

2x=48 quindi x=24 cm (RH)

Risostituendo nei dati si ha che:

HQ=24+8=32 cm

PH=24-6=18 cm

Per cui PQ=18 cm+32 cm= 50 cm.