[Risolto] Aiuto funzione

Considerando individualmente le due espressione senza considerare il sistema con le condizioni imposte, la prima ha dominio R perché una funzione con esponenziali e la seconda ha dominio R perché è una funzione polinomiale.

Ma dalla traccia sappiano che è una funzione definita a tratti quindi:

la prima ha dominio (-∞, 0)

la seconda invece [0, +∞). 

$9(e^{2x} - e^{x}) - 4 > 0$

variabile ausiliare t:

$ t = e^{x}$

$9t^{2} - 9t - 4 > 0$

È un eq. di secondo grado in t

$\Delta = 81 + 144= 225$

$t_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{\Delta}}{18}$

$t_{1,2} = \frac{9 \pm 15}{18}$  
$ e^{x}<-1/3$ oppure $ e^{x}>24/18$

Dalla seconda ricaviamo x:

$x > ln(\frac{24}{18})$

quindi è positiva per valori maggiori di x
ma ricordando che è definita a tratti e ha dominio (- inf, 0), è negativa nel dominio considerato.