AIUTO FASCI DI CIRCONFERENZE

Problema:

Dato il fascio di circonferenze di equazione $x²+y²-2kx-2(k-1)y-4=0$ determina le generatrici, i punti base, l'asse radicale e le caratteristiche delle circonferenze dal fascio. Determina, se esistono, i valori di k per cui si ottiene:

a. Una circonferenza simmetrica rispetto all'asse x;

b. Una circonferenza simmetrica rispetto all'asse y;

c. Una circonferenza simmetrica rispetto all'origine.

Soluzione:

Prima di iniziare l'esercizio conviene riscrivere  l'equazione del fascio raccogliendo i termini contenenti $k$:

\[
x^2 + y^2 - 2kx - 2(k-1)y - 4 = 0.
\]

\[
(x^2 + y^2 - 4) +k(-2x -2 y) = 0.
\]

 Le generatrici sono dunque

\[
\pi_1 : x²+y²=4
\]
\[
\pi_2: x+y=0
\]

I punti base sono dati dall'intersezione delle due generatrici, ovvero la soluzione del sistema delle equazioni
\[
x^2 + y^2 = 4 \quad \text{e} \quad y=-x.
\]
Risolvendo il sistema, si ottengono i punti base. $(-\sqrt{2},\sqrt{2}), \ (\sqrt{2},-\sqrt{2})$

L'asse radicale è la retta che connette i due punti base. Determinando l'equazione della retta passante per i punti base, si ottiene l'asse radicale. In questo caso intuitivamente si individua come asse radicale la circonferenza di raggio infinito $y=-x$

Le caratteristiche del fascio sono determinate dal centro e dal raggio delle circonferenze del fascio. Lasciate da individuare al lettore.

a. La circonferenza è simmetrica rispetto all'asse delle ascisse se il centro si trova sull'asse $y=0$, cioè quando la coordinata $y$ del centro è nulla. 

$\frac{-2(k-1)}{2}=0 \implies k=1$

b. La circonferenza è simmetrica rispetto all'asse delle ordinate se il centro si trova sull'asse $x=0$, cioè quando la coordinata $x$ del centro è nulla.

$\frac{-2(k)}{2}=0 \implies k=0$

c. La circonferenza è simmetrica rispetto all'origine se il centro coincide con l'origine $(0,0)$. 

$\frac{-2(k-1)}{2}=0 \implies k=1$, $\frac{-2(k)}{2}=0 \implies k=0$. Poiché i valori di $k$ sono distinti, non è possibile questa situazione.