[Risolto] Aiuto esercizio

velocità auto v1 = 72 km/h /3,6 = 20 m/s; (velocità iniziale);

velocità vigile v2 = 36 km/h /3,6 = 10 m/s; (velocità iniziale);

Spazio percorso dall'auto in t = 2 s; S = v * t;

S1 = 20 * 2 = 40 m;

Spazio percorso dal vigile in 2 s:

S2 = 10 * 2 = 20 m;

S1 - S2 = 40 - 20 = 20 m (distanza dell'auto dalla moto quando cominciano ad accelerare).

accelerazione auto  a1 = F / m = 6000 N / 900 kg = 6,67 m/s^2;

accelerazione vigile a2 = F / m = 3000 N / 300 kg = 10 m/s^2;

Moto accelerato: S = 1/2 a t^2 + vo t + So

Legge del moto per l'auto che ha un vantaggio di So = 20 m sulla moto e velocità iniziale 20 m/s:

S1 = 1/2 * 6,67 * t^2 + 20 t + 20;

Legge del moto per la moto del vigile:

S2 = 1/2 * 10 * t^2 + 10 * t;

Eguagliamo S2 con S1 per trovare il tempo impiegato per raggiungere l'auto.

1/2 * 10 * t^2 + 10 * t = 1/2 * 6,67 * t^2 + 20 t + 20;

5 t^2 - 3,33 t^2 + 10 t - 20 t - 20 = 0;

1,67 t^2 - 10 t - 20 = 0,

t = [+ 5 +- radicequadrata(25 + 33,4)] / 1,67;

t = [+ 5 +- radice(58,4)] / 1,67;

t = [+ 5 +- 7,64] /1,67;

prendiamo la soluzione positiva;

t1 = + (5 + 7,64) / 1,67 = 7,58 s = 7,6 s circa, (tempo in cui il vigile raggiunge l'auto).

@eugenio ;  ciao.

Un vigile urbano viaggia in moto alla velocità Vm di 36 km/h e viene superato da un'auto che viaggia alla velocità costante di Va = 72 km/h. Due secondi dopo essere stato superato, il vigile accelera al massimo per raggiungere l'auto, ma nello stesso istante anche l'auto accelera al massimo per fuggire. La massa del vigile e della moto è mm = 300 kg e la forza massima del suo motore è Fm = 3,0 kN. La massa del guidatore e dell'auto è ma = 900kg e la forza massima del suo motore è Fa = 6,0 kN.

Velocità iniziale automobile Va = 72/3,6 = 20 m/sec 

accelerazione autom. aa = Fa/ma = 6.000/900 = 60/9 = 20/3 di m/sec^2

Velocità iniziale moto Vm = 36/3,6 = 10 m/sec 

accelerazione moto am = 3.000/300 = 10 m/sec^2

dopo 2 secondi :

# l'auto ha percorso uno spazio Sa pari a 20*2 = 40 m 

# la moto ha percorso uno spazio Sm pari a 10*2 = 20 m e si trova alla distanza d = 40-20 = 20 dall'auto 

chiamato t in tempo impiegato da auto e moto in accelerazione  :

Va*t+aa/2*t^2+20 = Vm*t+am/2*t^2 

20*t+10/3*t^2+20 = 10*t+5*t^2

10t+20 = 5t^2/3

5t^2-30t-60 = 0

dividendo tutto per 5

t^2-6t-12 = 0

t = (6+√6^2+4*12)/2 = (6+9,17)/2 = 7,6 sec 

La moto raggiunge l'auto dopo 7,6+2 = 9,6 secondi da quando viene superata dall'automobile 

oppure :

20*(t+2)+10/3*t^2 = 10*(t+2)+5*t^2 

20t+40+10/3*t^2 = 10t+20+5t^2 

10t+20 = 5/3t^2

5t^2-30t-60 = 0

t^2-6t-12 = 0 (la stessa equazione finale trovata sopra)

ATTENZIONE: IL RISULTATO ATTESO E' ROTONDAMENTE ERRATO.
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Poste l'origine dei tempi nell'istante dell'accelerazione e l'origine delle ascisse nella posizione del sorpasso, considerate le equivalenze "36 km/h = 10 m/s" e "72 km/h = 20 m/s" e la relazione "a = F/m" (l'accelerazione impressa dalla forza F alla massa m è il loro rapporto) si ha quanto segue.
All'istante zero iniziano due MRUA (moti rettilinei uniformemente accelerati) modellati dalle equazioni
* x(t) = X + t*(V + (a/2)*t)
* v(t) = V + a*t
con i seguenti valori di posizione X e velocità V iniziali e accelerazione a.
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Motocicletta
* X = 20 m
* V = 10 m/s
* a = (3 kN)/(300 kg) = 10 m/s^2
* x(t) = 20 + t*(10 + (10/2)*t) = 5*t^2 + 10*t + 20
* v(t) = 10 + 10*t
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Autovettura
* X = 40 m
* V = 20 m/s
* a = (6 kN)/(900 kg) = 20/3 m/s^2
* x(t) = 40 + t*(20 + ((20/3)/2)*t) = (10/3)*t^2 + 20*t + 40
* v(t) = 20 + (20/3)*t
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"Dopo quanto tempo il vigile riesce a raggiungere l'auto?" chiede di risolvere in t > 0 la disequazione
* 5*t^2 + 10*t + 20 >= (10/3)*t^2 + 20*t + 40 ≡
≡ (5/3)*(t^2 - 6*t - 12) >= 0
cioè il sistema
* (t^2 - 6*t - 12 >= 0) & (t > 0) ≡
≡ ((t - (3 - √21 ~= - 1.58))*(t - (3 + √21 ~= 7.58)) >= 0) & (t > 0) ≡
≡ t = 3 + √21 ~= 7.58 s
CHE E' PROPRIO IMPOSSIBILE ARROTONDARE A 7.3 s!