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[Risolto] Disequazione esponenziale

  

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Salve, qualcuno potrebbe dirmi e spiegarmi i vari passaggi per risolvere questa disequazione esponenziale? 

Grazie in anticipo dell'aiuto

inbound453635285473754476

 

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2 Risposte
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NON CI SONO PASSAGGI: SI RISOLVE PER ISPEZIONE.
L'espressione a primo membro è una funzione pari f(x) >= f(0) = 2.
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Nel gergo matematico "per ispezione" vuol dire guardare con attenzione la forma in cui si presenta il problema
* f(x) = (√2 - 1)^x + (√2 + 1)^x <= 2
e fare, su tale forma, opportune considerazioni che conducano ad enunciare il risultato solo per una catena di ragionamenti.
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CONSIDERAZIONI
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A) La soluzione di una disequazione con diseguaglianza d'ordine lasco è l'unione delle soluzioni della stessa con l'ordine stretto e dell'equazione con l'eguaglianza; quindi
* (√2 - 1)^x + (√2 + 1)^x <= 2 ≡
≡ ((√2 - 1)^x + (√2 + 1)^x < 2) oppure ((√2 - 1)^x + (√2 + 1)^x = 2)
---------------
B) Il primo termine dell'unione è falso ovunque (cioè ha per soluzione l'insieme vuoto) perché
B1) ciascuna delle due esponenziali, in basi positive, è non negativa e crescente ovunque; vale uno nell'origine e quindi meno di uno per x < 0 e più di uno per x > 0;
B2) La forma delle basi, (a ± 1), è tale che il loro prodotto "a^2 - 1" valga uno per "a = √2" e quindi che per x < 0 si abbia
* f(- x) = 1/(√2 - 1)^x + 1/(√2 + 1)^x =
= ((√2 + 1)^x + (√2 - 1)^x)/(((√2 - 1)^x)*(√2 + 1)^x) =
= (√2 + 1)^x + (√2 - 1)^x = f(x) > 2
---------------
C) Il secondo termine dell'unione è vero solo per x = 0 (cioè ha per soluzione la sola origine) per quanto detto sub B.
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D) Ricostituendo l'unione si ha
* (√2 - 1)^x + (√2 + 1)^x <= 2 ≡
≡ ((√2 - 1)^x + (√2 + 1)^x < 2) oppure ((√2 - 1)^x + (√2 + 1)^x = 2) ≡
≡ (insieme vuoto) oppure (la sola origine) ≡
≡ x = 0
---------------
E) CONTROPROVA nel paragrafo "Result" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%28%E2%88%9A2-1%29%5Ex%2B%28%E2%88%9A2%2B1%29%5Ex%3C%3D2+for+x+real




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Ciao! 

La prima cosa da fare è tentare di ricondursi alla stessa base. Per fare ciò è necessario notare che:

$(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=1$ cioè $\sqrt{2}-1=\frac{1}{\sqrt{2}+1}$

Una volta osservato questo, lasciami chiamare $\sqrt{2}+1=a$ e l'equazione si scrive:

$a^x+\frac{1}{a^x} \leq 2$

Adesso moltiplica per $a^x$ a destra e sinistra:

$a^{2x}+1 \leq 2a^x$  --> $a^{2x}-2a^x+1 \leq 0$

Questa è una disequazione di secondo grado in $a^x$. Se adesso chiamiamo $t=a^x$ possiamo scrivere:

$t^2-2t+1 \leq 0$  --> $(t-1)^2 \leq 0$

l'espressione a sinistra è un quadrato, quindi non potrà mai essere $<0$, ma potrà essere $=0$ per $t=1$, quindi per $a^x=1$, cioè per $x=0$.

Quindi $x=0$ è l'unico valore che soddisfa la disequazione. Il grafico seguente conferma il risultato:

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