Aiuto Dimsotarzione

Due casi:

1. Se f(x) = λ; con λ∈ℝ cioè funzione costante allora banalmente f'(0) = 0
2. Se f(x) non è costante allora esistono due punti $x_1, x_2; \quad t.c. \quad f(x_1) \ne f(x_2) $

Senza perdere in generalità possiamo supporre che  $f(x_2) > f(x_1)$

Essendo la funzione f(x) continua, esiste un punto $c∈[x_1, x_2] \quad t.c. \quad f(c) = \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ Cioè un punto intermedio tra $f(x_1) \; e \; f(x_2)$ 

Consideriamo il $ \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = ζ $    con $ζ\in \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$

Avremo da considerare tre casi:

1. f(c) > ζ. Allora per la continuità della funzione esistono almeno due punti a, b, uno a sinistra e uno a destra di x₂ quindi distinti dove la funzione vale  f(a) = f(b) = f(c). Occorre tener presente che f(x₂) > f(c). Possiamo così concludere applicando Rolle alla f(x) nell'intervallo [a, b].
2. f(c) < ζ. Allora per la continuità della funzione esistono almeno due punti a, b, uno a sinistra e uno a destra di x₁, quindi distinti, dove la funzione vale  f(a) = f(b) = f(c). Occorre tener presente che f(x₁) < f(c). Possiamo così concludere applicando Rolle alla f(x) nell'intervallo [a, b].
3. f(c) = ζ Allora possiamo applicare Weirestrass generalizzato all'intervallo [c, +∞) e concludere che esiste un punto estremante (minimo oppure massimo) e per il teorema di Fermat la sua derivata sarà nulla.

nota. Il problema sta nell'individuare due punti distinti dove la funzione assume identico valore. 

Problema:

Sia $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una funzione derivabile tale che $\lim_{x \to + \infty} f(x)=\lim_{x \to - \infty} f(x)$.

Dimostrare che esiste almeno un punto $c \in \mathbb{R}$ per il quale $f'(c)=0$.

Soluzione:

Si può dimostrare che  se $f \in C^1( \mathbb{R})$ vale che $f \in C(\mathbb{R})$.

Oltre ciò, il fatto che $\lim_{x \to + \infty} f(x)=\lim_{x \to - \infty} f(x)$ può significare che la funzione è asintotica a una retta orizzontale, oppure diverge positivamente/negativamente sia a destra che a sinistra. 

Nel primo caso se $\lim_{x \to + \infty} f(x)=\lim_{x \to - \infty} f(x)=M$, si ha che esiste una retta $y=M \pm \epsilon$ (a seconda del caso), con $\epsilon >0$, tale che $f^{-1}(\{y\})$ definisce gli estremi di un intervallo compatto $K$ reale. Per Rolle si ottiene che esiste almeno un punto $ c \in K \setminus \{ \partial K \}$ tale che $f'(c)=0$.

Nel caso di divergenza, per la continuità della funzione, si ha necessariamente almeno un punto di estremo locale (in realtà potresti anche avere una retta orizzontale, non so come chiamarla) che per Fermat ammette derivata prima nulla. Ciò è deducibile dallo studio dell'andamento della funzione. (es: parabola)