[Risolto] Aiuto con la risoluzione di questi 2 integrali indefiniti

Cerco di mettere ordine anche se tra i vari post è già stata pubblicata la soluzione. Allego lo svolgimento dei due esercizi. Per quanto riguarda il primo esercizio ho utilizzato il testo corretto che @Andromeda09 ha pubblicato nel commento successivo alla pubblicazione del quesito

Ciao!

Per il primo integrale, dobbiamo accorgerci del fatto che $ \frac{1}{x} $ è la derivata di $ log(1+x) $, quindi l'integrale sarà del tipo $ log^2(1+x) $:

$ \int \frac{log(1+x)}{x}dx=\frac{1}{2}\int \frac{2log(1+x)}{x}dx = \frac{log^2(1+x)}{2}+c
$

Per il secondo, dobbiamo operare la sostituzione $ \sqrt{x-2}=u $, in modo da ottenere $ du=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}dx $ , ovvero $ dx=2udu $. Abbiamo, quindi:

$ \int sin(\sqrt{x-2})dx=2\int u*sin(u)du $

Integrando per parti (integro $ sin(u) $ e derivo $ u $)

$ 2\Bigg(-u*cos(u)+\int cos(u)du\Bigg) = 2\Bigg(-\sqrt{x-2}cos(\sqrt{x-2})+sin(\sqrt{x-2})+c\Bigg) $

In definitiva, quindi:

$ 2sin(\sqrt{x-2})-2\sqrt{x-2}cos(\sqrt{x-2})+c $

Se qualcosa non ti è chiaro, chiedi pure!

questa dovrebbe essere la risposta

sarebbe interessante capire se il fratto x è relativo soltanto all'argomento del logaritmo o a tutta la funzione.

 Ti lascio qui il caso in cui la tua funzione sia

hai affrontato gli sviluppi in serie di Taylor?

attento:  la derivata di log(1+x) è 1/(1+x), non 1/x

Se il testo è quello della foto la risoluzione è questa. Dopo aver spezzato l'integrale, per il primo o utilizzi l'integrazione per sostituzione, o meglio osservi che hai una funzione e la sua derivata e applichi l'integrale notevole