[Risolto] Aiuto con due problemi di geometria

Facciamo riferimento ad un triangolo rettangolo "primitivo" simile a quello in studio che ha un cateto pari a 5 e la sua corrispondente proiezione x sull'ipotenusa pari a 4.

Per il 1° teorema di Euclide calcoli ipotenusa:

5^2= 4*i-----> i = 5^2/4----> i = 6.25 cm

Altro cateto=sqrt(6.25^2-5^2)=3.75 cm

perimetro=5 + 6.25 + 3.75 = 15 cm

Rapporto di similitudine=30/15=2

Quindi il triangolo rettangolo in studio ha i cateti che misurano:

5·2 = 10 cm e 3.75·2 = 7.5 cm

ha area=1/2·10·7.5 = 37.5 cm^2

$c_1= 5/4(p_1)$

$2p= 30$

$h=√(5/4p_1)^2-p_1^2$

$h= √9/16p_1^2$

$h=3/4p_1$

$p_2= 9/16p_1^2/p_1$

$p_2= 9/16p_1$

$i= 9/16p_1+p_1$

$i= 25/16p_1$

$c_2= √(25/16p_1)^2-(5/4p_1)^2$

$c_2= √225/256p_1^2$

$c_2= 15/16p_1$

$c_1+c_2+i= 30$

$5/4p_1+25/16p_1+15/16p_1= 30$

$p_1= 30(16/60)$

$p_1= 8$

$c_1= 10$

$c_2= 7.5$

$i= 12.5$

$A= (10)(7.5)/2= 37.5$

109) In un triangolo rettangolo di perimetro uguale a 30⁢ 𝑐⁢𝑚, un cateto è 5/4 della sua proiezione sull'ipotenusa. Calcola l'area del triangolo.
[37,5 ⁢𝑐⁢𝑚²]

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$\small\text{Cateto } = 5x;$

$\small\text{proiezione del cateto } = 4x;$

$\small\text{ipotenusa } i= \dfrac{(5x)^2}{4x} = \dfrac{25x^{\cancel2}}{4\cancel{x}} =\dfrac{25}{4}x \quad\text{(dal 1° teorema di Euclide)};$

$\small\text{cateto incognito } = \sqrt{\left(\dfrac{25}{4}x\right)^2-(5x)^2} = \sqrt{\dfrac{625}{16}x^2-25x^2} = \dfrac{15}{4}x \quad\text{(teorema di Pitagora)};$

$\small\text{quindi conoscendo il perimetro: }$

$\small 5x+\dfrac{15}{4}x+\dfrac{25}{4}x = 30$

$\small 20x+15x+25x = 120$

$\small 60x = 120$

$\small \dfrac{\cancel{60}x}{\cancel{60}} = \dfrac{\cancel{120}^2}{\cancel{60}_1}$

$\small x= 2$

$\small \text{per cui:}$

$\small \text{cateto maggiore } C= 5x = 5·2 = 10\,cm;$

$\small \text{cateto minore } c= \dfrac{15}{4}x = \dfrac{15}{\cancel4_2}·\cancel2^1 = \dfrac{15}{2} = 7,5\,cm;$

$\small \text{ipotenusa } i= \dfrac{25}{4}x = \dfrac{25}{\cancel4_2}·\cancel2^1 = \dfrac{25}{2} = 12,5\,cm;$

$\small\text{infine:}$

$\small\text{area } A= \dfrac{C·c}{2} = \dfrac{10·7,5}{2} = 5·7,5 = 37,5\,cm^2.$

110) Un triangolo isoscele ha il lato obliquo lungo 16 ⁢𝑐⁢𝑚 e l'altezza lunga 12,8 ⁢𝑐⁢𝑚. Calcola la misura del raggio della circonferenza circoscritta al triangolo.[10 cm]

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$\small\text{Base } b= 2\sqrt{l^2-h^2}=2\sqrt{16^2-12,8^2} = 2×9,6 = 19,2\,cm\quad\text{(teorema di Pitagora)};$

$\small\text{area } A= \dfrac{b×h}{2} = \dfrac{19,2×\cancel{12,8}^{6,4}}{\cancel2_1} = 19,2×6,4 = 122,88\,cm^2;$

$\small\text{raggio della circonferenza circoscritta: }$

$\small R= \dfrac{b×l×l}{4A} = \dfrac{19,2×16×16}{4×122,88} = \dfrac{\cancel{4915,2}^{10}}{\cancel{491,52}_1} = 10\,cm.$

CH = 1 

cateto maggiore C = 5CH/4 = 20CH/16

C^2 = 25CH^2/16 = CH*i

ipotenusa i = 25CH/16

AH = AC-CH = 25CH/16-1 = 9CH/16

cateto minore c = √AH*i = CH√9/16*25/16 = 15CH/16

siamo in presenza di una terna pitagorica 3, 4 e 5 di ragione 5, per cui :

cateto minore c = 30*3/12 = 15/2 cm

cateto maggiore C = 30*4/12 = 10 cm 

ipotenusa i = 30*5/12 = 50/4 = 25/2 cm 

area A = 15/2*5 = 75/2 cm^2 

AC = BC = 16 cm 

CH = 12,8 cm 

AH = 4√4^2-3,2^2 = 9,60 cm 

angolo CAH = arctan CH/AH = 12,8/9,60 = 53,13°

angolo ACH = 90°-angolo CAH = 36,87° = angolo OAC (AOC isoscele)

angolo AOC = 180°-2*36,87° = 106,26°

Si applica il teorema di F.Viete (aka del coseno) 

cos 106,26° = -0,280

16^2 = 2r^2-2r^2*-0,280 =  2,56r^2

r = √16^2/2,56 = √100,0 = 10,0 cm 

per altra via : 

area A = AB*CH/2 

raggio r = AB*l^2/4A

r = AB*16^2/(2AB*CH ) = l^2/2h = 256/(2*12,8) = 10 cm  (il che valida la formula in rosso)