Una circonferenza e una parabola sono disegnate nel pianto cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto $(0 ; 5)$ e raggio 4 , e la parabola ha il suo vertice in $(0 ; 0)$. Se la circonferenza è tangente alla parabola in due punti, ricava l'equazione della parabola. $\left[y=\frac{1}{4} x^2\right]$
@exprof mi può aiutare? scusi per la foto di prima
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Livello 0
Data la simmetria della circonferenza di centro C(0, 5) e raggio r = 4
* Γc ≡ x^2 + (y - 5)^2 = 4^2 ≡ (|x| <= 4) & (y = 5 ± √(16 - x^2))
l'asse di simmetria della parabola Γp di vertice V(0, 0), doppiamente tangente Γc, dev'essere la congiungente CV; quindi Γp deve avere la forma
* Γp ≡ y = a*x^2
con apertura a > 0 perché, per poter comprendere Γc, Γp deve avere concavità verso y > 0.
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Per la tangenza delle due curve il sistema delle loro equazioni deve avere per soluzione due punti doppi.
Con u = x^2 si ha
* (y = a*x^2) & (x^2 + (y - 5)^2 = 4^2) ≡
≡ (y = a*u) & (u + (a*u - 5)^2 - 16 = 0) ≡
≡ (u^2 - ((10*a - 1)/a^2)*u + 9/a^2 = 0) & (y = a*u)
con le condizioni restrittive si trova
* (u^2 - ((10*a - 1)/a^2)*u + 9/a^2 = 0) & (a > 0) & (0 < u < 16) ≡
≡ (a = 1/4) & (u = 12)
da cui
* (x = ± √12 = ± 2*√3) & (y = (1/4)*12 = 3)
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Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx%5E2%3D16-%28y-5%29%5E2%2Cy%3Dx%5E2%2F4%5D
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