Dato il fascio di circonferenze di equazione $x^{2}+y^{2}-4 k x-2(k-1) y+2=0$, determina:
a. il centro $C$ delle circonferenze del fascio e gli eventuali punti base;
b. per quali valori di $k$ si hanno circonferenze di raggio $r=\sqrt{6}$;
c. per quale valore di $k$ il centro $C$ appartiene alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
a) $C(2 k ; k-1)$, non ci sono punti base; b) $\left.\left.k=\frac{7}{5}, k=-1 ; c\right) k=-1\right]$
462
punti
Livello 1
Con due applicazioni del completamento di quadrato si ricava la forma normale standard
* Γ(k) ≡ (x - a(k))^2 + (y - b(k))^2 = q(k) = r^2
dalla forma normale canonica data
* Γ(k) ≡ x^2 + y^2 - 4*k*x - 2*(k - 1)*y + 2 = 0 ≡
≡ x^2 - 4*k*x + y^2 - 2*(k - 1)*y + 2 = 0 ≡
≡ (x - 2*k)^2 - (2*k)^2 + (y - (k - 1))^2 - (k - 1)^2 + 2 = 0 ≡
≡ (x - 2*k)^2 + (y - (k - 1))^2 = (√(5*k^2 - 2*k - 1))^2
---------------
Da questa forma del fascio si leggono le proprietà geometriche individuali
* raggio r(k) = √(5*k^2 - 2*k - 1)
* centro C(2*k, k - 1)
e si ricavano quelle dell'intero fascio
* circonferenze non reali per (1 - √6)/5 < k < (1 + √6)/5
* circonferenze reali degeneri per k = (1 ± √6)/5
* circonferenze reali non degeneri per
** (k < (1 - √6)/5 ~= - 0.29) oppure (k > (1 + √6)/5 ~= + 0.69)
* asse centrale (x = 2*k) & (y = k - 1) ≡ y = (x - 2)/2
* punti base
** Γ(- 1) & Γ(1) ≡ ((x + 2)^2 + (y + 2)^2 = 6) & ((x - 2)^2 + y^2 = 2) ≡
≡ nessuno
* asse radicale Γ(- 1) - Γ(1) ≡
≡ ((x + 2)^2 + (y + 2)^2 = 6) - ((x - 2)^2 + y^2 = 2) ≡
≡ (x + 2)^2 + (y + 2)^2 - ((x - 2)^2 + y^2) = 6 - 2 ≡
≡ y = - 2*x
==============================
RISPOSTE AI QUESITI
------------------------------
a) già fatto nell'esame preliminare
------------------------------
b) r = √6 ≡ √(5*k^2 - 2*k - 1) = √6 ≡ (k = - 1) oppure (k = 7/5)
------------------------------
c) C(u, u) ≡ 2*k = k - 1 ≡ k = - 1
57798
punti
Genius I
Ormai dovresti sapere risolvere questi problemi! (A mio parere..)
x^2 + y^2 - 4·k·x - 2·(k - 1)·y + 2 = 0
Si riconosce: C([2·k, k - 1)
Determinazione punti base:
Riscriviamo il fascio come:- 2·k·(2·x + y) + (x^2 + y^2 + 2·y + 2) = 0
Quindi a sistema:
{x^2 + y^2 + 2·y + 2 = 0
{2·x + y = 0
Risolviamo:
y = - 2·x per sostituzione
x^2 + (- 2·x)^2 + 2·(- 2·x) + 2 = 0
5·x^2 - 4·x + 2 = 0
Δ/4 = (-2)^2 - 10--------> Δ/4 = -6 < 0 Non ci sono punti base.
--------------------------------------------------------
r = √(α^2 + β^2 - c) = √((2·k)^2 + (k - 1)^2 - 2) = √6
√(5·k^2 - 2·k - 1) = √6
5·k^2 - 2·k - 1 = 6------> 5·k^2 - 2·k - 7 = 0
quindi risolviamo: k = 7/5 ∨ k = -1
-------------------------------------------------
y = x--------> k - 1 = 2·k-----> k = -1
115471
punti
Genius III
