Aiutino perfavore. So du ore che ci sto su.

Considera la funzione y= a sin( wx )+ b cos( wx )+ c, con w>0.

a.determina a,b,c e w in modo che:

• abbia periodo 4pigreco
• Il suo grafico passi per il punto di coordinate (pigreco, 0)
• abbia come immagine l'intervallo [-3,1]

Allora ho trovato w e c ma non riesco a trovare a {è -c} e b sapendo che A (???) (questo lo si intuisce dall'immagine) è 2.

Le soluzioni sono[a=1,b=+/-rad3 {vedi verifica1},c=-1,w=1/2]

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• abbia periodo 4pigreco

w =2pi/(4pi) =  1/2,  --- >  y = a sin(x/2) + b cos(x/2) + c

• Il suo grafico passi per il punto di coordinate (pigreco, 0)

 

0 = a sin(pi/2) + b cos(pi/2) + c   ---> c = -a

 

• abbia come immagine l'intervallo [-3,1]

 

per via trigonometrica {lo faccio con Wolfram per fare prima } sai che sommando sinusoidi della stessa pulsazione w ottieni ancora una sinusoide con la stessa pulsazione e fase  phi = p diversa... in particolare qui sommi seno con coseno con ampiezze diverse ...

facilmente per confronto ricavi:

 

A*cosp= b   e    -A*senp = a  {che con A >0  a e senp hanno segno opposto}

A = sqrt(a² + b²)

p = arctan(-a/b) 

e dall' "immagine"  assegnata ricavi :

A = (|-3| + 1)/2 = 2   

 

si tratta di sinusoide di ampiezza A = 2 e che però ha una "componente costante" -1 pari al termine c = -a = -1 

 

pertanto:

 

b =sqrt(A² - a²) = sqrt(4 - 1) = sqrt3 {e non -sqrt3 ---> vedi verifica1}

inoltre p = arctan(-a/b) = arctan(-1/sqrt3) = - pi/6 ---> -30° ... si osserva che sen(-30°) =-0.5  < 0 quindi a >0 è congruente!

 

verifica :

..........................

vale anche il percorso ... di @exprof

facilmente per confronto ricavi:

 

A*cosp = a   e    A*senp = b

  {che con A >0  a e cosp  come b e senp hanno  segno uguale}

A = sqrt(a² + b²)

p = arctan(b/a) 

e dall' "immagine"  assegnata ricavi :

A = (|-3| + 1)/2 = 2   

 

si tratta di sinusoide di ampiezza A = 2 e che però ha una "componente costante" -1 pari al termine c = -a = -1 

 

pertanto:

 

b =sqrt(A² - a²) = sqrt(4 - 1) = sqrt3 {e non -sqrt3 ---> vedi verifica1}

inoltre p = arctan(b/a) = arctan(sqrt3) = pi/3 ---> 60° ... si osserva che cos(60°) = 0.5  > 0 quindi a >0 è congruente!

verifica2:

Immagino che con "w doppio vu minuscolo" tu intenda "ω o-mega minuscolo", la pulsazione in radianti al secondo; quindi che la funzione da specificare sia
* y = a*sin(ω*x) + b*cos(ω*x) + c, con ω > 0 e con x in secondi ≡
≡ (√(a^2 + b^2))*sin(ω*x + arctg(b/a)) + c
una sinusoide
* di pulsazione ω rad/s
* traslata in verticale di c
* traslata in orizzontale di arctg(b/a)/ω s
* scalata di √(a^2 + b^2)
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I quattro parametri si determinano in base alle seguenti considerazioni.
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1) Il periodo di sin(x + φ) è 2*π, quello di sin(k*x + φ) è 2*π/k.
Per ottenere 2*π/ω = 4*π, occorre avere ω = 1/2
da cui
* y = (√(a^2 + b^2))*sin(x/2 + arctg(b/a)) + c
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2) L'immagine di sin(x + φ) è [- 1, 1],
quella di A*sin(x + φ) è [- A, A],
quella di A*sin(x + φ) + c è [- A + c, A + c].
Per ottenere [- 3, 1] occorre avere (- A + c = - 3) & (A + c = 1), cioè
* c = - 1
* A = √(a^2 + b^2) = 2
da cui
* y = 2*sin(x/2 + arctg(b/a)) - 1
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3) Per ottenere lo zero in (π, 0) si pone il vincolo d'appartenenza, con φ = arctg(b/a)
* 0 = 2*sin(π/2 + φ) - 1 ≡ φ = arctg(b/a) = π/3
da cui
* y = 2*sin(x/2 + π/3) - 1
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4) Per finire di soddisfare alla consegna "determina a,b,c e w" si sviluppa con la formula d'addizione del seno
* y = 2*sin(x/2 + π/3) - 1 ≡ y = sin(x/2) + (√3)*cos(x/2) - 1