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triangolo formato da rette

  

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@emanuele-12 Sarebbe gradito un titolo opportuno alla domanda.

2 Risposte
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Ti ho trovato il perimetro e l’area...prova a continuare da solo e se hai dubbi chiedi...

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Inizio da "inoltre", che non richiede calcoli.
Detti (P, Q) i punti medi di AC e di BC e PQ il segmento che li ha per estremi, quest'ultimo risulta lungo la metà di AB
* |PQ| = |AB|/2
per la similitudine fra ABC e PQC, di rapporto 1/2 per costruzione.
Ruotando i ragionamento sugli altri lati si ottiene la tesi.
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La seconda cosa preliminare, che però un piccolo calcolo lo richiede, è verificare che le rette date formino un triangolo e non un fascio (il cui centro dovrebb'essere o la soluzione del sistema delle tre rette o la loro comune direzione).
* (y = - x + 3) & (y = x/3 - 1) & (3*y + x - 9 = 0) ≡
≡ (y = 3 - x) & (3 - x = x/3 - 1) & (3*(3 - x) + x - 9 = 0) ≡
≡ (y = 3 - x) & (x = 3) & (- 2*x = 0) ≡
≡ (y = 3 - 3 = 0) & (x = 3) & (x = 0) ≡
≡ impossibile
Quindi, non avendo un punto in comune, formano triangolo.
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I vertici del triangolo sono le soluzioni dei sistemi delle coppie di rette.
* (y = - x + 3) & (y = x/3 - 1) ≡ A(3, 0)
* (y = x/3 - 1) & (3*y + x - 9 = 0) ≡ B(6, 1)
* (y = - x + 3) & (3*y + x - 9 = 0) ≡ C(0, 3)
------------------------------
Il perimetro è la somma delle lunghezze dei tre lati, ciascuna delle quali si calcola applicando il Teorema di Pitagora alle differenze fra le coordinate omologhe dei vertici agli estremi del lato.
* |AB| = √10
* |AC| = 3*√2
* |BC| = 2*√10
da cui
* p = 3*(√2 + √10) ~= 13.729
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L'area del triangolo che ha i vertici
* A ≡ P1(x1, y1), B ≡ P2(x2, y2), C ≡ P3(x3, y3)
è metà del valore assoluto di una semplice espressione delle coordinate (v. http://it.wikipedia.org/wiki/Triangolo#Formule_analitiche )
* S(ABC) = (1/2)*|x1*(y2 - y3) - x2*(y1 - y3) + x3*(y1 - y2)|
---------------
Con
* A(3, 0), B(6, 1), C(0, 3)
si ha
* S(ABC) = 6

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