Calcoli preliminari
$ y(x) = ax^4+bx^2+c $
$ y'(x) = 4ax^3 +2bx $
y"$(x) = 12ax^2 +2b$
a.
- Flesso nel punto F(1,1). Questo implica che la derivata seconda in x = 1 è nulla; cioè
y"$(1) = 12a +2b = 0 \; ⇒ \; b = -6a $
- La tangente nel flesso è parallela alla retta r: y = -8x ⇒ m = -8.
In tal caso $ y'(1) = -8 \; ⇒ \; 2a+b=-8 \; ⇒ \; 2a-6a= - 8 \; ⇒ \; a = 1 allora b = -6
Per determinare il valore di x sfruttiamo il fatto che la curva α passa per F(1,1)
$ y(1) = x^4-6x^2+c = 1 \; ⇒ \; c = 6$.
La curva α è la rappresentazione della funzione $y(x) = x^4-6x^2+6$
b. Usiamo la formula del vertice (Vertex form) per determinare l'equazione del fascio di parabole con vertice in $V(x_0, y_0)$ e asse di simmetria parallela all'asse delle y.
Nota, qualunque altro metodo è ovviamente valido.
$ y-y_0 = k(x-x_0)^2 $
$ y = kx^2 + 2$
E' richiesto la tangenza tra le due curve. Determiniamo i punti di intersezione risolvendo il sistema. La tangenza si ottiene imponendo che il discriminante sia nullo.
$ \left\{\begin{aligned} y &= kx^2+2 \\ y &= x^4-6x^2+6 \end{aligned} \right. $
Per confronto si ottiene
$ x^4-(6+k)x^2+4 = 0 $
Imponiamo il discriminante uguale a 0
$Δ = 64(k^2+12k+20)^2 = 0 $
$Δ = k^2+12k+20 = 0 $ che ammette due soluzioni
- k = -10; da scartare non è tangente
- k = -2; O.K.
L'equazione della parabola è $y = -2x^2+2$
c.
I lati del rettangolo sono
- lato l = 2x
- altezza h = y = (-2x^2+2)
Ne consegue che l'area A è data
$ A = l \cdot h = 2x(-2x^2+2) = -4x^3 +4x $
se è un massimo $x_m $ è un punto stazionario
$ y'(x) = -12x^2+4 = 0 \; ⇒ \; x^2 = \frac{1}{3} $
Determiniamo il valore di $y_m$ cioè dell'altezza $y_m = h$
$ y = -2(x^2)+2 = -\frac{2}{3}+2 = \frac{4}{3}$
