[Risolto] Esercizio antenna parabolica

@kassi

Ciao.

La parabola è ad asse orizzontale, il suo vertice V (0,0) sta sull’origine e risulta equidistante dal fuoco F(36,0) e dalla retta x=-36 che rappresenta la direttrice della parabola stessa (le relative misure sono in cm).

L’asse della parabola è l’asse delle x, pertanto y=0.

L’equazione da determinare è quindi della forma x=a*y^2

Per determinarla applichiamo la definizione della parabola vista come il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dal fuoco e dalla sua direttrice.

Sia P(x,y) il generico punto appartenente alla parabola stessa.

La distanza dalla direttrice è pertanto   x+36

La distanza che P ha dal fuoco F è definita dal teorema di Pitagora  √((x - 36)^2 + (y - 0)^2)

Quindi:

x + 36 = √((x - 36)^2 + (y - 0)^2)

x + 36 = √(x^2 - 72·x + y^2 + 1296) eleviamo al quadrato entrambi i membri (si può fare perché sono in gioco delle distanze)

x^2 + 72·x + 1296 = x^2 - 72·x + y^2 + 1296---------->x = y^2/144

E’ l’equazione della parabola cercata.

Se la profondità dell’antenna  è 6.25 cm vuol dire che i punti estremi del diametro AB hanno un valore di x=6.25 . Quindi , risolvendo    6.25 = y^2/144  si ottengono i due valori di y relativi al diametro AB:

y = -30 ∨ y = 30                        AB=|-30-30|=60 cm

Ti svolgo la domanda a).

Teoria: la parabola è il luogo dei punti equidistanti dal fuoco $F$ e da una retta $d$ detta direttrice.

Se il fuoco $F$ ha coordinate $F(36,0)$ e il vertice $V$ è posizionato nell'origine, se ne deduce che la direttrice è una retta parallela all'asse $y$ con equazione $x=-36$.

Chiamiamo $P$ il generico punto sulla parabola. Quindi $P(x,y)$.

La distanza di $P$ dalla direttrice è semplicemente:

$D(P,d)=x+36$ (domanda: perchè?)

la distanza di $P$ da $F$ è

$D(P,F)=\sqrt{(x-36)^2+y^2}$

Per definizione deve essere:

$D(P,F)=D(P,d)$ e quindi

$x+36=\sqrt{(x-36)^2+y^2}$

elevando al quadrato

$x^2+36^2+72x=x^2+36^2-72x+y^2$ --> $144x=y^2$ oppure, se si preferisce:

$x=\frac{y^2}{144}$