[Risolto] Diagonali

La somma delle diagonali di un rombo misura 85 cm e una è 5/12 dell'altra. Calcola il perimetro e l'area del rombo.

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Indichiamo con d la diagonale minore e con D quella maggiore.
Sappiamo che d+D=85 cm mentre la diagonale minore e i 5/12 di quella maggiore (5/12<1 per cui quella minore è 5/12 della maggiore) per cui possiamo scrivere: d=5/12D

Mettiamo a sistema le due equazioni
{d+D=85 cm
{d=5/12D
sostituiamo d nella 1^ equazione ottenendo:
5/12D+D=85 cm
moltiplico ambo i membri dell'equazione per 12 ottenendo:
(5D+12D)=1020 cm
17D=1020
D=1020/17=60 cm
d=5/12D = 5/12*60=25 cm

Calcoliamo il lato del rombo che è l'ipotenusa del triangolo rettangolo i cui cateti sono la metà delle due diagonali

l = Sqrt((D/2)^2+(d/2)^2) = Sqrt((30/2)^2+(25/2)^2) = 32,5 cm
P = l*4 = 32,5*4 = 130 cm
A = D*d/2 = 60*25/2 = 750 cm^2

La somma delle diagonali di un rombo misura 85 cm e una è 5/12 dell'altra. Calcola il perimetro e l'area del rombo.

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Somma e rapporto tra le diagonali, quindi:

diagonale minore $d= \frac{85}{5+12}×5 = \frac{85}{17}×5 = 5×5 = 25~cm$;

diagonale maggiore $D= \frac{85}{5+12}×12 = \frac{85}{17}×12 = 5×12 = 60~cm$;

lato $l= \sqrt{\big(\frac{D}{2}\big)^2+\big(\frac{d}{2}\big)^2} = \sqrt{\big(\frac{60}{2}\big)^2+\big(\frac{25}{2}\big)^2} = \sqrt{30^2+12,5^2} = 32,5~cm$;

perimetro $2p= 4·l = 4×32,5 = 130~cm$;

area $A= \frac{D·d}{2} = \frac{60×25}{2} = 750~cm^2$.