Definizione di Piramide
La piramide è un poliedro limitato da un poligono qualsiasi e da tanti triangoli quanti sono i lati di questo poligono, aventi tutti un vertice in comune.
Esempi svolti
Una piramide retta a base quadrata ha I’area di base di $576 \mathrm{~cm}^2$ e l’altezza pari ai $2 / 3$ dello spigolo di base b. Calcolare il volume della piramide.
Svolgimento
Per prima cosa troviamo lo spigolo di base b. Poichè la base è un quadrato, il lato $b$ sarà uguale alla radice quadrata dell’area di base:
$$
b =\sqrt{A_b} =\sqrt{576} $$
$$b =24 \mathrm{~cm}
$$
L’altezza è pari ai $2 / 3$ dello spigolo di base b:
$$
h=\frac{2}{3} \cdot b =\frac{2}{3} \cdot 24 $$
$$ h=16 \mathrm{~cm}
$$
A questo punto possiamo calcolare il volume utilizzando la seguente formula:
$$
V=\frac{A_b \cdot h}{3}
$$
Sostituendo tutti i valori appena trovati, il volume è pari a:
$$
V= \frac{576 \mathrm{~cm}^2 \cdot 16 \mathrm{~cm}}{3} = 3072 \mathrm{~cm}^3
$$
Piramide Retta
Una piramide si dice retta se il poligono di base è circoscrittibile a una circonferenza e il piede dell’altezza coincide con il centro di questa circonferenza.
Apotema di una Piramide Retta
L’apotema di una piramide retta è l’altezza di una delle sue facce.
Per calcolare l’apotema di una piramide, possono essere utilizzate diverse formule, in base ai valori a disposizione.
Se sono noti lo spigolo della piramide sp e il lato di base I, si può utilizzare il teorema di Pitagora:
$$
a=\sqrt{s p^2+\left(\frac{l}{2}\right)^2}
$$
Se, invece, sono noti l’altezza h della piramide e il lato della base I, I’apotema si calcola utilizzando la formula:
$$
a=\sqrt{h^2+\left(\frac{l}{2}\right)^2}
$$
Noti l’area laterale e il perimetro $\mathbf{2 p}$, I’apotema sarà:
$$
a=\frac{A_L}{2 p}
$$
Noti l’area laterale e il lato della base I, si usa la formula:
$$
a=\frac{A_L}{4 \cdot l}
$$
Piramide Regolare
Una piramide si dice regolare se è retta ed il poligono di base è un poligono regolare.
Area Laterale
L’area laterale si ottiene moltiplicando il perimetro 2 p del poligono di base per I’apotema a e dividendo il prodotto per 2.
$$
A_L=\frac{2 p \cdot a}{2}
$$
Noti il lato della base I e l’apotema a della piramide, l’area laterale sarà:
$$
A_L=(4 \cdot l) \cdot a
$$
L’area laterale può essere calcolata anche come differenza tra l’area totale e l’area di base:
$$
A_L=\boldsymbol{A}_T-A_b
$$
Area Totale
L’area totale si ottiene sommando l’area del poligono di base alla superficie laterale.
$$
A_T=A_b+\frac{2 p \cdot a}{2}
$$
Volume
Il volume di una piramide si calcola con la formula
$$
V=\frac{A_b \cdot h}{3}
$$
Altezza
L’altezza h di una piramide può essere calcolata in modi diversi.
Se sono noti lo spigolo della piramide sp e la diagonale della base d, l’altezza viene calcolata attraverso la formula:
$$
h=\sqrt{s p^2-\left(\frac{d}{2}\right)^2}
$$
Se sono noti l’apotema a e il lato della base $\mathrm{I}$, si utilizza la formula seguente:
$$
h=\sqrt{a^2-\left(\frac{l}{2}\right)^2}
$$
Infine, noti il volume $\mathbf{V}$ e l’area di base, I’altezza sarà:
$$
h=\frac{3 V}{A_b}
$$