Definizione di Poliedro Regolare
Un poliedro si dice regolare se tutte le sue facce sono poligoni regolari uguali fra loro e tutti i diedri e gli angoloidi sono uguali fra loro.
Esempi svolti
Calcolare la diagonale (d) e il volume (V) di un cubo, sapendo che la sua superficie totale $A(T)$ misura $216 cm ^2$.
Svolgimento
Sappiamo che l’area totale si calcola con la seguente formula:
$$ A_T=6 \cdot a^2 $$
Possiamo calcolare il lato a del cubo applicando la formula inversa:
$$ 6 a^2=216 c m^2 $$
Dividendo ambo i membri per 6 otteniamo:
$$
\frac{6}{6} a^2=\frac{216}{6} cm ^2
$$
$$
a^2=36 cm ^2
$$
$$
a=\sqrt{36 cm ^2}=6 cm
$$
Applicando la formula per calcolare la diagonale otteniamo:
$$
d=6 \sqrt{3} cm
$$
Applicando la formula per calcolare il volume otteniamo:
$$
V=(6 cm )^3=216 cm ^3
$$
Solidi Platonici
I poliedri regolari sono solo cinque e prendono il nome di solidi platonici.
Tetraedro regolare
Il tetraedro regolare è un poliedro con 4 triangoli equilateri come facce.
Un tetraedro ha 6 spigoli, 4 vertici e 4 facce. Inoltre ogni suo angolo diedrale
misura $70^{\circ} 32^{\prime}$.
Nelle formule che seguono a rappresenta il lato.
Volume
$$
V=\frac{\sqrt{2}}{12} \cdot a^3
$$
Area totale
$$
A_T=a^2 \sqrt{3}
$$
Superficie laterale
$$
A_L=\frac{3 \sqrt{3} a^2}{4}
$$
Altezza
$$
h=\frac{a \sqrt{6}}{3}
$$
Cubo o esaedro regolare
Il cubo è un parallelepipedo limitato da 6 quadrati uguali. Ha tutti gli spigoli uguali e per questo ha una sola dimensione.
Nelle formule che seguono a rappresenta il lato.
Area di base
La base di un cubo è sempre un quadrato di lato a.
L’area di base è:
$$
A_b=a^2
$$
Si può esprimere l’area di base in funzione del valore della diagonale $D$ :
$$
A_b=\frac{D^2}{3}
$$
Volume
$$
V=a^3
$$
Può essere utilizzata anche la seguente formula in funzione della diagonale $D$ :
$$
V=\frac{D^3}{3 \sqrt{3}}
$$
Area totale
$$
A_T=6 \cdot a^2
$$
L’area totale può essere espressa anche in funzione della diagonale $D$ :
$$
A_T=2 D^2
$$
Superficie laterale
$$
A_L=4 \cdot a^2
$$
La superficie laterale del cubo può essere espressa anche in funzione della diagonale D:
$$
A_L=\frac{4}{3} D^2
$$
Diagonale
$$
D=\sqrt{3} \cdot a
$$
Se è nota l’area totale del cubo, la diagonale può essere calcolata nel seguente modo:
$$
D=\sqrt{\frac{A_T}{2}}
$$
Lato
$$
a=\frac{D}{\sqrt{3}}
$$
Se è nota la superficie totale, il lato del cubo può essere calcolato utilizzando la formula:
$$
a=\sqrt{\frac{A_T}{6}}
$$
Ottaedro
L’ottaedro è un poliedro con 8 triangoli equilateri. E’ costituito da 8 facce, 12 spigoli e 6 vertici. Ogni suo angolo diedrale misura circa 109.47°.
Nelle formule che seguono a rappresenta il lato.
Volume
$$
V=\frac{\sqrt{2}}{3} \cdot a^3
$$
Area totale
$$
A_T=2 \sqrt{3} \cdot a^2
$$
Dodecaedro
II dodecaedro è un poliedro con 12 pentagoni regolari come facce. Ha 12 facce, 20 vertici e 30 spigoli.
Nelle formule che seguono a rappresenta il lato.
Volume
$$
V=\frac{15+7 \sqrt{5}}{4} \cdot a^3
$$
Area totale
$$
A_T=3 \sqrt{25+10 \sqrt{5}} \cdot a^2
$$
Icosaecaedro
L’icosaedro è un poliedro regolare costituito da 20 triangoli equilateri. Ha 20 facce, 12 vertici e 30 spigoli.
Nelle formule che seguono a rappresenta il lato.
Volume
$$
V=\frac{5}{12} \cdot(3+\sqrt{5}) \cdot a^3
$$
Area totale
$$
A_T=5 \cdot \sqrt{3} \cdot a^2
$$