Le equazioni delle bisettrici dei quadranti del piano cartesiano
Consideriamo la bisettrice del primo e del terzo quadrante. Ogni punto della bisettrice gode della proprietà di essere equidistante dai lati dell’ angolo, cioè dagli assi cartesiani.
Preso un punto generico P (x; y) sulla bisettrice, l’ascissa e l’ordinata, prese in valore assoluto, rappresentano le distanze di P dagli assi. Quindi |y | = |x |. Nel primo e terzo quadrante, d’altra parte, l’ascissa e l’ordinata di un punto hanno lo stesso segno, quindi:
y=x
Questa uguaglianza è un’equazione nelle variabili x e y e caratterizza di fatto i punti della bisettrice del primo e terzo quadrante. Le sue infinite soluzioni (x;y) corrispondono a tutti e soli gli infiniti punti di tale bisettrice ; se le coordinate di un punto non soddisfano l’equazione, il punto non appartiene alla bisettrice.
Con considerazioni analoghe, si ricava che alla bisettrice del secondo e quarto quadrante è associata l’equazione:
y= – x
Tutti i punti di questa bisettrice, e soltanto essi, hanno le coordinate che sono numeri opposti.
Data una qualsiasi retta del piano, le coordinate dei suoi punti, e soltanto esse, soddisfano un’equazione che chiamiamo equazione della retta.
L’equazione di una generica retta passante per l’origine
Consideriamo i punti A ( 1 ; 2) e B (3; 6) e la retta passante per A e B.
I due punti hanno l’ordinata uguale al doppio dell’ascissa; quindi la relazione che lega le coordinate (x;y) di ciascuno di essi è:
y = 2x
Si può dimostrare che ogni altra coppia di numeri che soddisfi l’ equazione $y =2x$ corrisponde a un punto della retta AB e, viceversa, che ogni punto della retta ha coordinate che soddisfano tale equazione.
Pertanto l’equazione della retta AB è:
y = 2x
Fra i punti della retta è compresa anche l’origine O, in quanto la coppia (0; 0) soddisfa l’equazione.
Più in generale, se l’ordinata è m volte l’ascissa, l’equazione è y = mx. Osserviamo che ognuna di queste rette passa per l’origine.
In generale, si può dimostrare che l’equazione di una retta passante per l’origine, purché diversa dall’asse y, è del tipo:
y= mx
per un opportuno valore di m.
Viceversa, un’equazione del tipo $y = mx$ rappresenta sempre una retta passante per l’origine, diversa dall’ asse y.
Equazione di una retta passante per l’origine
Una_retta passante per l’origine e diversa dall’asse y ha equazione del
tipo $y = mx$.
Il coefficiente angolare
Nell’equazione $y=mx$ il coefficiente m è chiamato coefficiente angolare.
Esso esprime, per una retta passante per l’origine, il rapporto fra ordinata
e ascissa di ogni punto della retta stessa, a eccezione dell’origine.
$\frac{y_A}{x_A} =\frac{y_B}{x_B} =…=m$
In generale:
$\frac{y}{x} =m$
Se m è positivo, anche $\frac{y}{x} $ è positivo: i punti della retta hanno coordinate entrambe positive o entrambe negative. Ciò significa che la retta appartiene al primo e terzo quadrante. Inoltre, nel semipiano di ordinate
positive la retta forma con la semiretta positiva dell’asse x un angolo acuto.
Se m è negativo, anche $\frac{y}{x} $ è negativo: i punti della retta hanno coordinate discordi. Ciò significa che la retta appartiene al secondo e quarto
quadrante. Inoltre, nel semipiano di ordinate positive la retta forma con la semiretta positiva dell’asse x un angolo ottuso.
Le equazioni degli assi cartesiani
Consideriamo i punti ( -1;0) , (0; 0), (2; 0), …
Essi, come tutti gli altri punti dell’asse x, godono della stessa proprietà:
la loro ordinata è 0. Assumiamo allora come equazione dell’asse x l’uguaglianza y= 0. In modo analogo si ragiona per l’asse y, i cui punti hanno tutti ascissa 0.
Equazione degli assi
L’equazione dell’ asse x è y=0 ; mentre l’equazione dell’ asse y è x=0.
L’equazione dell’asse x può essere vista come caso particolare dell’equazione y=mx, quando m = 0, mentre quella dell’asse y, come abbiamo già notato, non è del tipo y=mx.
Diamo di seguito uno schema grafico, per migliorarne la comprensione.
- Per quanto riguarda l’asse delle ascisse:
- Per quanto riguarda l’asse delle ordinate:
