Per due punti distinti passa una e una sola retta. In geometria analitica, questo si traduce così: date le coordinate di due punti distinti del piano, è possibile determinare l’equazione dell’unica retta passante per quei punti. Consideriamo due punti generici, $P(x_1;y_1)$ e $Q(x_2;y_2)$, e determiniamo l’equazione della retta passante per essi.
- Poiché la retta che cerchiamo passa per il punto P, essa deve appartenere al fascio proprio di rette per P, cioè deve avere un’equazione del tipo
$y -y_1 = m(x -x_1)$ in cui m assume un certo valore che ora determineremo. - Per calcolare m, utilizziamo la formula che dà il coefficiente angolare, note le coordinate di due punti della retta: $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $
- Nell’equazione del fascio di rette di centro P, sostituiamo a m l’espressione ottenuta: $y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$
- Infine, se $y_1\neq y_2$ dividendo entrambi i membri per $y_2-y_1$, riscriviamo tale formula nella seguente formula:
$\frac{y-y_1}{y_2-y_1} =\frac{x-x_1}{x_2-x_1} $
Questa è l’equazione della retta passante per i punti dati.
ESEMPIO
Applichiamo la formula appena ricavata per determinare l’equazione della retta passante per A (2; – 5) e B( -4; 6):
$\frac{y+5}{6+5} =\frac{x-2}{-4-2} $
quindi
$\frac{y+5}{11} =\frac{x-2}{-6} $
$-6y-30=11x-22$ allora $6y=-11x-8$
L’equazione cercata è quindi: $y=-\frac{11}{6}x-\frac{4}{3} $ .
OSSERVAZIONE
Come si è già evidenziato, la formula $\frac{y-y_1}{y_2-y_1} =\frac{x-x_1}{x_2-x_1} $ non si applica per determinare l’equazione della retta che passa per due punti che hanno la stessa ascissa o la stessa ordinata.
• Se i punti P e Q hanno la stessa ascissa, cioè $x_1 = x_2$ l’equazione della
retta passante per P e Q è $x = x_1$
• Se i punti P e Q hanno la stessa ordinata, cioè $y_1 = y_2$, l’equazione della retta passante per P e Q è $y = y_1$.