[Risolto] Parabola

TE LO DICO IO "come impostare questo esercizio": SENZA "AVER USATO EQUAZIONE DEL FASCIO".
L'equazione dell'esercizio 160 rappresenta una parabola, che è una conica, e il problema delle tangenti a una conica Γ s'imposta a partire dalla polarità che Γ instaura fra punti e rette del suo piano. In tal modo si trovano anche le eventuali tangenti parallele all'asse y che, con "equazione del fascio", non si possono trovare. Se la cosa non t'è chiara, vedi la nota in fondo.
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A) Trovare la polare p del polo P(0, 1) rispetto a
* Γ ≡ y = - x^2 + 3*x ≡ x^2 - 3*x + y = 0
applicando lo sdoppiamento alla sua forma normale canonica
* p ≡ 0*x - 3*(x + 0)/2 + (y + 1)/2 = 0 ≡ y = 3*x - 1
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B) Risolvere il sistema polare-conica
* p & Γ ≡ (y = 3*x - 1) & (y = - x^2 + 3*x) ≡ T1(- 1, - 4) oppure T2(1, 2)
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C) Aver trovato due intersezioni reali e distinte qualifica il polo come esterno alla conica e le intersezioni come punti di tangenza delle rette per P tangenti Γ.
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D) Le richieste equazioni delle tangenti sono quindi quelle delle congiungenti PT
* t1 ≡ PT1 ≡ y = 5*x + 1
* t2 ≡ PT2 ≡ y = x + 1
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E) Verifica
Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx%5E2-3*x%3D-y%2C%283*x-1-y%29*%28y-5*x-1%29*%28y-x-1%29%3D0%5D
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PROBLEMA DELLE TANGENTI, RETTA POLARE, SDOPPIAMENTI
La retta polare p(Γ, P) del punto P(u, v), il polo, rispetto alla conica Γ si ottiene dall'equazione di Γ in forma normale canonica, f(x, y) = 0, lasciandone inalterati i coefficienti e operando le sostituzioni (formule di sdoppiamento):
* x^2 → u*x
* y^2 → v*y
* x*y → (v*x + u*y)/2
* x → (u + x)/2
* y → (v + y)/2
Se il punto P è interno alla conica Γ, p(Γ, P) non interessa il problema delle tangenti.
Se il punto P è sulla conica Γ, p(Γ, P) è la tangente in P.
Se il punto P è esterno alla conica Γ, p(Γ, P) interseca Γ nei punti di tangenza delle tangenti condotte da P.

@aurora_lecchi 

{y - 1 = m·x

{y = - x^2 + 3·x

per sostituzione:

y = m·x + 1

m·x + 1 = - x^2 + 3·x

x^2 - 3·x + m·x + 1 = 0

x^2 + x·(m - 3) + 1 = 0

Δ = 0 condizione di tangenza

(m - 3)^2 - 4 = 0-----> (m - 1)·(m - 5) = 0

m = 5 ∨ m = 1

y = 5·x + 1

y = x + 1