Divisione con il metodo di Ruffini

Se la divisione è esatta, ossia fornisce resto nullo, puoi applicare il metodo di Ruffini in cascata osservando che il divisore si scrive come (x-1)^2.

Quindi dividendo per due volte il polinomio dato.

….|2…..//….-1……//….-5|-4

..1|…….2….2……1…….1|-4
——————————————

…|2…….2……1……1……-4|-8

La divisione non è esatta è quindi devi fare la divisione generale.

La Regola di Ruffini è una procedura di calcolo che, rispetto a quella ordinaria, risparmia sulla scrittura, e soprattutto sul numero di moltiplicazioni, nella divisione di un qualsiasi dividendo N(x) polinomio di grado qualsiasi per un qualsiasi divisore D(x) binomio di grado uno.
Con qualsiasi procedura sia fatta la divisione produce due polinomi come risultato: un quoziente Q(x) di grado gr[Q] = gr[N] - gr[D] la differenza fra quelli di N e D; un resto R(x) per il cui è inferiore a gr[D]: 0 <= gr[R] < gr[D]. Vale l'identità definitoria
* N = Q*D + R
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Nella divisione che tu proponi D(x) è un trinomio quadratico, quindi la Regola non c'entra affatto; per farcela entrare si deve scomporre il divisore nel prodotto di due binomi lineari.
* "(2x^5-5x-x^3-4) : (x^2-2x+1)" ≡
≡ (2*x^5 - x^3 - 5*x - 4) : (x^2 - 2*x + 1) =
= (2*x^5 - x^3 - 5*x - 4) : (x - 1)^2 =
= (2*x^5 - x^3 - 5*x - 4) : ((x - 1)*(x - 1)) =
= ((2*x^5 - x^3 - 5*x - 4) : (x - 1)) : (x - 1)
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Applicando la Regola si ottiene
* 2*x^5 - x^3 - 5*x - 4 = (2*x^4 + 2*x^3 + x^2 + x - 4)*(x - 1) - 8
con R = - 8 di grado zero. Pertanto
* ((2*x^5 - x^3 - 5*x - 4) : (x - 1)) : (x - 1) =
= (2*x^4 + 2*x^3 + x^2 + x - 4 - 8/(x - 1)) : (x - 1) =
= ((2*x^4 + 2*x^3 + x^2 + x - 4) : (x - 1)) - 8/(x - 1)^2
Applicando di nuovo la Regola si ottiene
* 2*x^4 + 2*x^3 + x^2 + x - 4 = (2*x^3 + 4*x^2 + 5*x + 6)*(x - 1) + 2
con R = + 2 di grado zero. Cioè
* (2*x^4 + 2*x^3 + x^2 + x - 4) : (x - 1) = 2*x^3 + 4*x^2 + 5*x + 6 + 2/(x - 1)
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CONCLUSIONE
* (2*x^5 - x^3 - 5*x - 4) : (x^2 - 2*x + 1) =
= 2*x^3 + 4*x^2 + 5*x + 6 + 2/(x - 1) - 8/(x - 1)^2 =
= 2*x^3 + 4*x^2 + 5*x + 6 + (2*x - 10)/(x - 1)^2
che sarebbe stato, ovviamente, il risultato della procedura di calcolo ordinaria.
Vedi il paragrafo "Result" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=PolynomialQuotientRemainder%5B2*x%5E5-x%5E3-5*x-4%2Cx%5E2-2*x--1%2Cx%5D