[Risolto] Disequazione esponenziale n. 242

Per ogni funzione fratta: f(x) = N(x)/D(x), definita per D(x) != 0,
a) f(x) < 0 ≡ ((D(x) < 0) & (N(x) > 0)) oppure ((D(x) > 0) & (N(x) < 0))
b) f(x) = 0 ≡ (D(x) != 0) & (N(x) = 0)
c) f(x) > 0 ≡ ((D(x) < 0) & (N(x) < 0)) oppure ((D(x) > 0) & (N(x) > 0))
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* f(x) = N(x)/D(x) >= 0 ≡
≡ (D(x) != 0) & ((N(x)/D(x) = 0) oppure (N(x)/D(x) > 0)) ≡
≡ (D(x) != 0) & ((N(x) = 0) oppure (D(x) < 0) & (N(x) < 0) oppure (D(x) > 0) & (N(x) > 0)) ≡
≡ (D(x) != 0) & (N(x) = 0) oppure (D(x) != 0) & (D(x) < 0) & (N(x) < 0) oppure (D(x) != 0) & (D(x) > 0) & (N(x) > 0) ≡
≡ (D(x) != 0) & (N(x) = 0)
oppure
≡ (D(x) < 0) & (N(x) < 0)
oppure
≡ (D(x) > 0) & (N(x) > 0)
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NEL CASO IN ESAME
La funzione a primo membro della disequazione
242) f(x) = 7^(2*√(2*x^(2 - x)))/√(9^x - 10*3^x + 9) >= 0
contenendo la subespressione "x^(2 - x)" (che è una funzione "torre", una "tetrazione") non è più solo irrazionale ed esponenziale, ma è a pieno diritto anch'essa una "torre": il titolo "Disequazione esponenziale" è un understatement.
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Circa i tre disgiunti della soluzione generica si vede che
* D(x) = √(9^x - 10*3^x + 9) = √((3^x - 1)*(3^x - 9))
il cui radicando è non positivo, quindi da escludere, per
* 0 <= x <= 2
esclude di conseguenza il secondo disgiunto (D(x) < 0) & (N(x) < 0) restringendo la soluzione a
* f(x) = N(x)/D(x) >= 0 ≡
≡ (D(x) != 0) & (N(x) = 0)
oppure
≡ (D(x) > 0) & (N(x) > 0)
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Circa il numeratore si vede che
* N(x) = 7^(2*√(2*x^(2 - x))) = (7^√8)^√(x^(x + 2))
è una potenza di base reale (7^√8 ~= 246) con esponente la radice quadrata della funzione torre
* y = x^(x + 2)
che è zero nell'origine, azzerando anche N(x) (ma non costituendo soluzione perché nell'origine D(x) = 0 e quindi f(x) è indefinita: lim_(x → 0) f(x) = ± ∞) e complessa, quindi da escludere, per x < 0 (tranne l'unico valore y(- 1) = (- 1)^(- 1 + 2) = - 1, che però rende immaginaria N(x), quindi da escludere.).
E ciò esclude anche il primo disgiunto (D(x) != 0) & (N(x) = 0) restringendo la soluzione a
* f(x) = N(x)/D(x) >= 0 ≡
≡ f(x) = N(x)/D(x) >= 0 ≡
≡ (D(x) > 0) & (N(x) > 0) ≡
≡ ((x < 0) oppure (x > 2)) & (x > 0) ≡
≡ (x < 0) & (x > 0) oppure (x > 2) & (x > 0) ≡
≡ (insieme vuoto) oppure (x > 2) ≡
≡ x > 2

SECONDA RISPOSTA
Rielaborata un po' dopo il messaggio privato «... la disequazione esponenziale, per quanto riguarda il primo membro no ... Se riesci ad usare un linguaggio più comprensibile ..., ti ringrazio, altrimenti posterò nuovamente il quesito.»
No, per carità! Ma non vale la pena, sfrondo subito tutto lo sfrondabile.
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La funzione a primo membro della disequazione
242) f(x) = 7^(2*√(2*x^(2 - x)))/√(9^x - 10*3^x + 9) >= 0
soddisfà alla diseguaglianza ">= 0" con l'unione delle soluzioni delle alternative
* f(x) = N(x)/D(x) >= 0 ≡ (f(x) = 0) oppure (f(x) > 0)
L'equazione
* f(x) = 0
è impossibile perché l'unico zero del numeratore (7^(2*√(2*x^(2 - x))) = 0 ≡ x = 0) non appartiene all'insieme di definizione di f(x) ((x < 0) oppure (x > 2)).
Quindi
* f(x) = N(x)/D(x) >= 0 ≡
≡ f(x) > 0 ≡
≡ ((D(x) < 0) & (N(x) < 0)) oppure ((D(x) > 0) & (N(x) > 0))
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Il numeratore
* N(x) = 7^(2*√(2*x^(2 - x))) = (7^√8)^√(x^(x + 2))
è una potenza di base reale (7^√8 ~= 246) con esponente la radice quadrata della funzione
* y = x^(x + 2)
che è zero nell'origine, reale positiva sulla semiretta x > 0, complessa su x < 0 salvo che in x = - 1 dov'è reale negativa.
Perciò
* per x = 0 si ha √(x^(x + 2)) = 0
* per x > 0 si ha √(x^(x + 2)) > 0
quindi
* la disequazione N(x) < 0 non ha soluzioni utili (forse non ne ha affatto)
* f(x) = N(x)/D(x) >= 0 ≡
≡ f(x) > 0 ≡
≡ ((D(x) < 0) & (insieme vuoto)) oppure ((D(x) > 0) & (N(x) > 0)) ≡
≡ (insieme vuoto) oppure ((D(x) > 0) & (N(x) > 0)) ≡
≡ (D(x) > 0) & (N(x) > 0) ≡
≡ (D(x) > 0) & (x > 0) ≡
≡ ((x < 0) oppure (x > 2)) & (x > 0) ≡
≡ (x < 0) & (x > 0) oppure (x > 2) & (x > 0) ≡
≡ (insieme vuoto) oppure (x > 2) ≡
≡ x > 2
SE TI SEMBRA CHE QUESTO SIA STATO "un linguaggio più comprensibile" METTI QUI UN COMMENTO DI CONFERMA, NON MANDARE UN MESSAGGIO PRIVATO (ancora non m'hai detto se il mio Memorandum per te ( http://www.sosmatematica.it/forum/postid/67745/ ) l'hai visto o no).