Matematica

Cara Anna, hai già frequentato questo sito un sacco di volte; com'è possibile che non t'è ancora passato per l'anticamera del cervello che dovresti proprio rassegnarti all'idea che DEVI SCRIVERE QUAL E' IL PUNTO CHE TI METTE IN DIFFICOLTA' e DEVI DIRE LA CLASSE FREQUENTATA?
Qui presenti un esercizio d'esempio insieme al suo svolgimento dettagliato e le cortesi risposte che t'hanno inviato @LucianoP e @mg sottintendono qualcosa di assai meno cortese: "Ma tu, che minchiazza vai cercando?".
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L'esercizio chiede di dimostrare per induzione, per ogni indice maggiore di uno, la verità della disequazione
* n^2 > 2*n - 4
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Mi pare che il motivo che t'ha indotto a pubblicare quest'esercizio debba essere che non hai ben chiare le idee sul funzionamento del principio d'induzione completa (che non è illustrato proprio bene dalla soluzione presentata): ti consiglio anzitutto di chiarirtele leggendo la mini-dispensa (tre pagine e mezza) al link

ACAIROLI.IT "http://www.acairoli.it/attachments/article/418/principio_induzione.pdf"

e poi cerco di presentartelo, sull'esercizio #6, all'inverso del tuo libro.
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Una dimostrazione per induzione si compone di due compiti.
A) compito formale: dimostrare che se un numero intero k gode della proprietà P (assumendo vera l'ipotesi P[k]) allora ne deve godere anche il suo immediato successore (dimostrare la tesi P[k + 1]).
B) compito empirico: individuare per tentativi un numero intero x che goda della proprietà P.
Avendo verificato la verità di P[x] la dimostrazione A garentisce che ogni intero non minore di x gode della proprietà P.
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ESEMPIO
Ipotesi: P[k] ≡ k^2 > 2*k - 4
Tesi: P[k + 1] ≡ (k + 1)^2 > 2*(k + 1) - 4
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A) (k + 1)^2 > 2*(k + 1) - 4 ≡
≡ k^2 + 2*k + 1 > 2*k + 2 - 4 ≡
≡ (k^2) + 2*k + 1 > (2*k - 4) + 2
In quest'ultima espressione le subespressioni fra parentesi costituiscono l'ipotesi e, se questa si tiene per vera, deve valere l'equivalenza
* (k^2) + 2*k + 1 > (2*k - 4) + 2 ≡
≡ 2*k + 1 > 2
dove la disequazione così ridotta è vera per k > 1/2 cioè, dovendo k essere un intero, per ogni intero positivo: la dimostrazione A è valida con la condizione restrittiva che k sia un naturale.
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B) individuare per tentativi un numero naturale x che verifichi P[x].
* per x = 1: P[1] ≡ 1^2 > 2*1 - 4 ≡ 1 > - 2 ≡ Falso
* per x = 2: P[2] ≡ 2^2 > 2*2 - 4 ≡ 4 > 0 ≡ Vero
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CONCLUSIONE
Avendo verificato la verità di P[2] la dimostrazione A garentisce che ogni intero non minore di 2 gode della proprietà P.
QED

@annaro

Ciao. Scusa, quale è il problema se hai la sua risoluzione?

Hai già la soluzione. Ciao, @annaro