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Prabole

  

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Il grafico rappresenta una funzione del tipo y = ax? + b x + c.
Trova a, b, C.
a. Nel fascio di rette di centro A determina l'equazione della retta passante per il punto B della curva di ascissa 5 e trova l'altro punto di intersezione C della retta con il grafico.
b. Calcola la misura del segmento BC.
c. Sull'arco CA della curva determina un punto P in modo che 2PQ+ PR + PS = ;, essendo PQ, PR, PS le distanze di P rispettivamente dalla retta AC, dall'asse × e dall'asse y.

photo 2022 07 30 16 54 10
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@andrea_bergamini

Ciao e benvenuto.

L'ultimo punto lo lascio momentaneamente in sospeso.

La funzione data equivale ad una funzione definita a tratti del tipo:

y=

{a·x^2 + b·x + c per x ≥ 0

{a·x^2 - b·x + c  per x<0

Quindi determino le costanti attraverso il sistema:

{- b/(2·a) = 2   (asse parabola di destra)

{-3 = a·2^2 + b·2 + c  (passaggio parabola di destra per (2,-3))

{1 = a·0^2 + b·0 + c  (passaggio parabola di destra per A(0,1)

Risolvo ed ottengo: [a = 1 ∧ b = -4 ∧ c = 1]

Per cui viene ad essere definita la funzione in studio:

y=

{x^2 - 4·x + 1    per x ≥ 0

{x^2 + 4·x + 1  per x<0

Determino quindi il punto B sulla parabola di destra:

y = 5^2 - 4·5 + 1-----> y = 6-----> B(5,6)

Determino la retta AB per i due punti:

(y - 6)/(x - 5) = (1 - 6)/(0 - 5)

(y - 6)/(x - 5) = 1

y = x + 1 retta AB

Determino quindi l'altro punto di intersezione C

{y = x + 1

{y = x^2 + 4·x + 1

{x < 0 (relativamente alla parabola di sinistra)

Risolvo e determino le intersezioni:

[x = 0 ∧ y = 1, x = -3 ∧ y = -2]

Quindi il punto C è C(-3,-2)

Calcolo la distanza BC:

BC=√((5 + 3)^2 + (6 + 2)^2) = 8·√2

Continuo più tardi!....

Riprendo per l'ultima parte. I risultati che ho ottenuto non coincidono con quelli riportati dal testo. Quindi un invito ad altri volenterosi di verificare il mio risultato ed eventualmente dirmi dove ho sbagliato. Grazie.

image

I calcoli sono i seguenti:

PQ = ABS(x - (x^2 + 4·x + 1) + 1)/√(1^2 + (-1)^2)

PQ = ABS(- x^2 - 3·x)/√2

PR = ABS(x^2 + 4·x + 1)

PS = ABS(x)

Quindi scrivo:

ABS(- x^2 - 3·x) + ABS(x^2 + 4·x + 1) + ABS(x) = 5/2

quindi tengo conto che

x < 0

e libero i moduli:

(x^2 + 3·x) - (x^2 + 4·x + 1) - x = 5/2

- 2·x - 1 = 5/2--------> x = - 7/4

e quindi:

[- 7/4, (- 7/4)^2 + 4·(- 7/4) + 1]

P(- 7/4, - 47/16)

Verifico che appartenga alla parabola di sinistra:

- 47/16 = (- 7/4)^2 + 4·(- 7/4) + 1

- 47/16 = 49/16 + (-7) + 1

- 47/16 = - 47/16 OK!

 

 

@lucianop C'è un meno davanti a x^2, non puoi eliminare l'ABS
http://www.wolframalpha.com/input?i=+%7C-+x%5E2+-+3*x%7C+%3D+x%5E2+%2B+3*x+for+x+real
Almeno tu trovi valori razionali, io ho trovato x = (√67 - 11)/6 ~= - 0.469!
Questa è un'ulteriore conferma della mia impressione che le consegne monolitiche troppo ricche siano antieducative; se sbagliamo noi anzianotti, come pretendere che l'alunno non butti tutto in vacca?
L'esercizio ideale dovrebbe dare per scontate conoscenza e comprensione di tutto ciò che va dalla prima elementare alla pagina precedente, ma poi verificare solo la capacità di APPLICAZIONE di non più di un paio di nozioni del capitolo precedente e di una sola relazione fra di esse. Con esercizi siffatti per arricchire la consegna basterebbe aumentare il numero di esercizi semplici invece del numero di calcoli di un solo esercizio complesso.
Ma che sogno a fare? Non mi chiamo né Moratti, né Gelmini, né come chi gli è succeduto senza mutare le direttive sui libri scolastici.
Andiamo a cena, va!




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Una funzione del tipo y = a*x^2 + b*x + c ha un grafico che è una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y.
Il grafico rappresenta quindi una funzione definita per distinzione di casi fra due di quel tipo, simmetriche rispetto all'asse y.
Poiché ogni parabola Γ di quel tipo e di vertice V(w, h) ha equazione della forma
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
e poiché i due vertici simmetrici sono Vs(- 2, - 3) e Vd(+ 2, - 3), si ha
* Γs ≡ y = - 3 + a*(x + 2)^2
* Γd ≡ y = - 3 + a*(x - 2)^2
che, per passare dal punto A(0, 1), devono soddisfare ai vincoli
* Γs: 1 = - 3 + a*(0 + 2)^2 ≡ a = 1
* Γd: 1 = - 3 + a*(0 - 2)^2 ≡ a = 1
da cui
* Γs ≡ y = - 3 + (x + 2)^2 ≡ y = x^2 + 4*x + 1
* Γd ≡ y = - 3 + (x - 2)^2 ≡ y = x^2 - 4*x + 1
cioè
* Γ ≡ y = x^2 + 4*|x| + 1 ≡
≡ (x <= 0) & (y = x^2 + 4*x + 1) oppure (x >= 0) & (y = x^2 - 4*x + 1)
------------------------------
A1) All'ascissa x = 5 si ha il punto B la cui ordinata si ricava da
* (5 <= 0) & (y = 5^2 + 4*5 + 1) || (5 >= 0) & (y = 5^2 - 4*5 + 1) ≡
≡ (falso) & (y = 46) || (vero) & (y = 6) ≡
≡ B(5, 6)
Per A(0, 1), oltre all'asse y, passano tutte e sole le rette
* r(k) ≡ y = k*x + 1
fra cui quella per B è
* ABC ≡ r(1) ≡ y = x + 1
---------------
A2) Il punto C si ricava da
* (y = x + 1) & ((x <= 0) & (y = x^2 + 4*x + 1) || (x >= 0) & (y = x^2 - 4*x + 1)) ≡
≡ (y = x + 1) & ((x <= 0) & (x + 1 = x^2 + 4*x + 1) || B(5, 6)) ≡
≡ (y = x + 1) & ((x <= 0) & ((x = - 3) || (x = 0)) || B(5, 6)) ≡
≡ (y = x + 1) & ((x <= 0) & (x = - 3) || (x <= 0) & (x = 0) || B(5, 6)) ≡
≡ (y = x + 1) & ((x = - 3) || (x = 0) || B(5, 6)) ≡
≡ (y = x + 1) & (x = - 3) || (y = x + 1) & (x = 0) || B(5, 6) ≡
≡ C(- 3, - 2) || A(0, 1) || B(5, 6)
------------------------------
B) |BC| = √((- 3 - 5)^2 + (- 2 - 6)^2) = 8*√2
------------------------------
C) Il generico P(x, y) ha le distanze richieste
* |PR| = |y|
* |PS| = |x|
per definizione di coordinata e
* |PQ| = |x - y + 1|/√2
per la solita formuletta.
Se P dev'essere sull'arco CA (cioè, per - 3 < x < 0, su Γs ≡ y = x^2 + 4*x + 1) allora l'equazione
* (√2)*|PQ| + |PR| + |PS| = 5/2
diventa il sistemino
* (|x - (x^2 + 4*x + 1) + 1| + |x^2 + 4*x + 1| + |x^2 + 4*x + 1| = 5/2) & (- 3 < x < 0) ≡
≡ (|(x + 3)*x| + |x^2 + 4*x + 1| + |x^2 + 4*x + 1| = 5/2) & (- 3 < x < 0)
dove la prima equazione, contenendo tre moduli, dà luogo a tre sdoppiamenti generando otto (2^3) equazioncine senza moduli tutte condizionate da - 3 < x < 0.
Non voglio annoiarti con tutta la dattilografia necessaria per giungere all'errata conclusione che
* x = (√67 - 11)/6 ~= - 0.469
------------------------------
Vedi anche il mio commento @LucianoP
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/62704/

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