Tre oggetti vengono lanciati verso l'alto da una stessa quota a intervalli regolari di 0,5 s. Il primo oggetto resta in aria per 1 s, il secondo per 2 s e il terzo per 3 s.
Calcola a quale altezza rispetto alla quota di lancio si incontrano il primo e il secondo oggetto, il primo e il terzo oggetto e il secondo e il terzo oggetto.
Ho provato in tutti i modi a risolvere questo problema ma non ci riesco 😅 . Qualcuno che mi aiuti?
57
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Livello 1
Il problema è il 108
v = - 9,8 * (t salita) + vo;
vo = velocità iniziale di lancio.
Nel punto più alto v = 0 m/s; con t salita si trova vo di lancio dei tre oggetti.
t volo del primo = 1 s;
Il tempo di salita è metà del tempo di volo.
t salita del primo = 0,5 s;
vo1 = 9,8 * 0,5 = 4,9 m/s; velocità di lancio del primo oggetto;
t volo del secondo = 2 s
t salita del secondo = 1 s;
vo1 = 9,8 * 1 = 9,8 m/s; velocità di lancio del secondo;
t volo del terzo= 3 s
t salita del terzo = 1,5 s;
vo1 = 9,8 * 1,5= 14,7 m/s; velocità di lancio del terzo;
Legge del moto:
y = 1/2 g (t - to)^2 + vo (t - to);
y1 = 1/2 * (- 9,8) * t^2 + 4,9 * t; il primo parte al tempo to = 0 s
y2 = 1/2 * (- 9,8) * (t - 0,5)^2 + 9,8 * (t - 0,5); il secondo parte al tempo to = 0,5 s;
y3 = 1/2 * (-9 ,8) * (t - 1)^2 + 14,7 * (t - 1); il terzo parte al tempo to = 1 s.
Primo e secondo:
y1 = y2; dove si incontrano?
- 4,9 t^2 + 4,9 t = - 4,9 * (t - 0,5)^2 + 9,8 * (t - 0,5);
- 4,9 t^2 + 4,9 t = - 4,9 * (t^2 + 0,25 - t) + 9,8 t - 4,9;
- 4,9 t^2 + 4,9 t = - 4,9 t^2 - 1,225 + 4,9 t + 9,8 t - 4,9;
0 = - 1,225 + 9,8 t - 4,9;
9,8 t = 1,225 + 4,9;
t = 6,125 / 9,8 = 0,625 s; (tempo di incontro del primo e del secondo oggetto)
y1 = - 4,9 * 0,625^2 + 4,9 * 0,625;
y1 = - 1,914 + 3,0325 = 1,15 m circa 1,2 m;
primo e terzo;
y1 = y3
- 4,9 t^2 + 4,9 t = - 4,9 * (t - 1)^2 + 14,7 * (t - 1);
- 4,9 t^2 + 4,9 t = - 4,9 * (t^2 + 1 - 2t) + 14,7 t - 14,7;
- 4,9 t^2 + 4,9 t = - 4,9 t^2 - 4,9 + 9,8 t + 14,7 t - 14,7;
4,9 t - 9,8 t - 14,7 t = - 4,9 - 14,7;
- 19,6 t = - 19,6;
t = 1 s; (è il tempo di volo del primo, tempo per ritornare al punto di partenza, si incontreranno a 0 metri).
y1 = - 4,9 * 1^2 + 4,9 * 1 = 0 m;
y3 = - 4,9 * (1 - 1)^2 + 14,7 * (1 - 1);
y3 = 0 m; (si incontrano al punto di lancio).
Secondo e terzo:
y2 = y3;
1/2 * (- 9,8) * (t - 0,5)^2 + 9,8 * (t - 0,5) = 1/2 * (-9 ,8) * (t - 1)^2 + 14,7 * (t - 1);
- 4,9 * (t^2 + 0,25 - t) + 9,8 t - 4,9 = - 4,9 * (t^2 + 1 - 2 t) + 14,7 t - 14,7;
- 4,9 t^2 - 1,225 + 4,9 t + 9,8 t - 4,9 = - 4,9 t^2 - 4,9 + 9,8 t + 14,7 t - 14,7;
4,9 t + 9,8 t - 9,8 t - 14,7 t = + 1,225 + 4,9 - 4,9 - 14,7 ;
- 9,8 t = - 13,475;
t = 13,475 / 9,8 = 1,375 s, (tempo del punto di incontro del secondo e terzo oggetto).
y2 = 1/2 * (- 9,8) * (t - 0,5)^2 + 9,8 * (t - 0,5),
y2 = - 4,9 * (1,375 - 0,5)^2 + 9,8 * (1,375 - 0,5);
y2 = - 4,9 * 0,875^2 + 9,8 * 0,875;
y2 = - 3,752 + 8,575 = 4,82 m; (punto d'incontro).
Ciao @bxxxx
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Genius I
corrispondenza tra tempo t e velocità iniziale Vo
Vo1 = g*t1/2 = 9,806*1/2 = 4,903 m/sec
Vo2 = g*t2/2 = 9,806*2/2 = 9,806 m/sec
Vo3 = g*t3/2 = 9,806*3/2 = 14,71 m/sec
1&2 : h
Vo1*t-g/2*t^2 = Vo2*(t-0,5)-g/2*(t-0,5)^2
4,903t-4,903t^2 = 9,806t-4,903 -4,903(t^2+0,25-t)
4,903+4,903/4 = 9,806t+4,903t-4,903t
t = (4,903+4,903/4) / 9,806 = 0,625 sec
h = 4,903*0,625-4,903*0,625^2 = 1,149 m
1&3 : h'
Vo1*t-g/2*t^2 = Vo3*(t-1)-g/2*(t-1)^2
4,903t-4,903t^2 = 14,71t-14,71 -4,903(t^2+1-2t)
14,71+4,903 = 14,71t+9,806t-4,903t
t = (14,71+4,903) / (14,71+4,903) = 1,000 sec
h' = 4,903*1-4,903*1^2 = 0 m ...come era lecito attendersi , dal momento che t1 = 1,00 sec
2&3 : h''
Vo2*t-g/2*t^2 = Vo3*(t-0,5)-g/2*(t-0,5)^2
9,806t-4,903t^2 = 14,71t-14,71 -4,903(t^2+0,25-t)
14,71+4,903/4 = 14,71t-9,806t+4,903t
t = (14,71+4,903/4) / (14,71-4,903) = 1,625 sec
h'' = 9,806*1,625-4,903*1,625^2 = 3,0 m
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Genius II
le equazioni orarie dei tre oggetti sono:
s1 = vo1*t -g*t^2/2 ----> s1=0 ---> t=0 ovv.---> vo1= g*t/2 ---> t = 2*vo1/g = 1
vo1 = g/2
s2 = vo2*(t-0.5) - g*(t-0.5)^2/2 ----> s2 = 0 ---> t=0.5 ovv.---> vo2= g*(t-0.5)/2 ---> t -0.5 = 2*vo2/g =2---> vo2 = g
s3 = vo3*(t-1) - g*(t-1)^2/2 ----> s3=0 --->t=1 ovv. ---> vo2= g*(t-1)/2 ---> t -1= 2*vo3/g = 3 ---> vo3 = 3g/2
poniamo g=~ 9.8 m/s²
................
primo e secondo si incontrano quando s1 vale s2
cioè per t = 0.625 s ... ponendo t =0.625 nella prima o nella seconda
s1(0.625) = s2(0.625) = 1.1484375 =~ 1.15 m
..................
primo e terzo ---> se il terzo parte 1 s dopo il primo che sta in aria 1 s si incontrano al suolo cioè per s1(1) = 0 = s3(1)
................
secondo e terzo si incontrano quando s2 vale s3
cioè per t = 1.375 s ... ponendo t=1.375 nella seconda o nella terza
s2(1.375) = s3(1.375) = 4.8234375 =~ 4.8 m
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Livello 5
