Aiuto!!! Domani ho un compito e ho bisogno di capire questo problema

Il triangolo in questione è isoscele sulla base AC, poichè l'incentro (pto di incontro delle bisettrici) si trova sull'altezza relativa al lato AC. Sia BE tale altezza, come da figura sopra.

La retta contenente BE risulta perpedicolare ad r , per cui ha coeff. angolare -1/2 e passa per il pto B

s: y=-1/2*x+q 

B appartiene ad s e quindi q=5/2

Per cui s: y=-1/2*x+5/2

Il pto E si determina mettendo a sistema le 2 equazioni:

[y=2x-4

[y=-1/2x+5/2 

da cui si ricava E=(13/5 , 6/5)

Essendo il triangolo isoscele sulla base AC, BE è altezza, bisettrice e mediana per cui E è il pto medio di AC

Posso quindi scrivere:

(xA + xc)/2 = XE =13/5

(yA + Yc)/2 = YE = 6/5

da cui si ricava C=(1/5,-18/5)

Noti i 3 vertici possiamo calcolare le coordinate dell'incentro mediante la formula:

XI = (AC*XB + BC*XA + BA*XC)/(2p_triangolo)

YI = (AC*YB + BC*YA + BA*YC)/(2p_triangolo)

Mediante formula distanza tra due punti

BA=BC=radice(45) = 3*radice (5)

AC=(24*radice(5)) / 5

2p_triangolo=6*radice(5) + 24/5 * radice (5)

sei pregato di leggere con attenzione il regolamento del sito. Grazie

Ciao. Un disegno ti può aiutare per capire?

Domanda: se questo è il circocentro, l’incentro cosa sarà mai?

Quindi hai capito cos'è l'incentro? E' il punto equidistante dai 3 lati. Quindi centro della circonferenza inscritta al triangolo.

Qui non è indispensabile calcolare tutti i vertici del triangolo! Determiniamo l'incentro D come punto equidistante dalle rette AB e AC.

Retta AC:     2·x - y - 4 = 0------> y = 2·x - 4

Retta per B perpendicolare ad AC: y - 3 = - 1/2·(x + 1)-----> y = 5/2 - x/2

Quindi D(x,5/2-x/2) =incentro

Calcoliamo quindi la retta AB:

(y - 3)/(x + 1) = (6 - 3)/(5 + 1)-------> y = x/2 + 7/2-----> x - 2·y + 7 = 0

Equidistanza:

ABS(x - 2·(5/2 - x/2) + 7)/√(1^2 + (-2)^2) = ABS(2·x - (5/2 - x/2) - 4)/√(2^2 + (-1)^2)

2·ABS(x + 1) = ABS(5·x - 13)/2 risolvo: x = 17 ∨ x = 1 

La prima non va bene perché esterna al triangolo dato.

Quindi D= incentro=(1,2)

Motivazione grafica del perché ho scartato x=17:

tenendo presente che nel triangolo ABC, i vertici A e B sono fissi e che l'incentro si trova all'interno di esso perché intersezione delle bisettrici relative agli angoli interni.

Quindi, mi dispiace dirtelo, carissimo amico @exprof di soluzioni del problema posto non ce ne sono due ma una sola.

(Determina le coordinate dell'incentro del triangolo, sapendo che si trova sull'altezza relativa al lato AC)

PER CAPIRE QUESTO PROBLEMA (come ogni altro) SERVE: leggere la traccia con molta calma e analizzarne ciascun pezzo con qualche dettaglio; soprattutto serve non pensare mai "tanto è ovvio!" di cose che il testo non dice: se l'autore non l'ha scritto aveva le sue ragioni e tu non sei autorizzata/o a fare ipotesi aggiuntive a meno che non sia espressamente richiesto.
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Cosa chiede? Le coordinate (xI, yI) dell'incentro I del triangolo ABC.
Cos'è l'incentro? L'unico punto del piano equidistante dai lati.
Cosa serve per calcolare (xI, yI)? Le equazioni delle rette dei lati.
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Due di tali rette sono date: AC esplicitamente, AB dando A(5, 6) e B(- 1, 3)
* AC ≡ r ≡ 2*x - y - 4 = 0 ≡ y = 2*(x - 2)
* AB ≡ s ≡ y = (x + 7)/2
e non sono ortogonali perché le pendenze non sono antinverse.
Il luogo dei punti, fra i quali I, equidistanti dalle rette (r, s) si trova eguagliando le distanze da esse del generico P(x, y).
Con
* |Pr| = |(2*x - 4 - y)|/√(2^2 + 1)
* |Ps| = |(x/2 + 7/2 - y)|/√((1/2)^2 + 1)
si ha
* |(2*x - 4 - y)|/√(2^2 + 1) = |(x/2 + 7/2 - y)|/√((1/2)^2 + 1) ≡
≡ (y = x + 1) oppure (y = 11 - x)
che sono le due bisettrici degli angoli in A. Per questo problema interessa solo la bisettrice dell'angolo α, interno al vertice A di ABC; ma per ora non si sa se sia quello acuto o quello ottuso.
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L'ultimo dato disponibile è "sapendo che si trova sull'altezza relativa al lato AC", cioè sulla retta ortogonale ad r che passa per B(- 1, 3).
La retta r ha pendenza 2, quindi il suo fascio ortogonale, di pendenza - 1/2, è
* y = q - x/2
e la sua retta per B, dovendo soddisfare al vincolo
* 2 = q - (- 1)/2 ≡ q = 3/2
risulta
* y = (3 - x)/2
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Quindi l'incentro dev'essere una delle soluzioni dei sistemi
* (y = (3 - x)/2) & ((y = x + 1) oppure (y = 11 - x)) ≡
≡ (y = (3 - x)/2) & (y = x + 1) oppure (y = (3 - x)/2) & (y = 11 - x) ≡
≡ I1(1/3, 4/3) oppure I2(19, - 8)
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Se è I1(1/3, 4/3) si ha
* |Pr| = |(2*1/3 - 4 - 4/3)|/√(2^2 + 1) = 14*√5/15
* |Ps| = |((1/3)/2 + 7/2 - 4/3)|/√((1/2)^2 + 1) = 14*√5/15
e l'incerchio è
* Γ1 ≡ (x - 1/3)^2 + (y - 4/3)^2 = (14*√5/15)^2 ≡
≡ 15*x^2 - 10*x + 15*y^2 - 40*y - 37 = 0
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Se è I2(19, - 8) si ha
* |Pr| = |(2*19 - 4 - (- 8))|/√(2^2 + 1) = 42/√5
* |Ps| = |(19/2 + 7/2 - (- 8))|/√((1/2)^2 + 1) = 42/√5
e l'incerchio è
* Γ2 ≡ (x - 19)^2 + (y + 8)^2 = (42/√5)^2 ≡
≡ 5*x^2 - 190*x + 5*y^2 + 80*y + 361 = 0
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PASSAGGIO DELICATO per la scelta fra le due possibili soluzioni: qual è la posizione di B(- 1, 3) rispetto all'incerchio?
* Γ1: 15*(- 1)^2 - 10*(- 1) + 15*3^2 - 40*3 - 37 = 3 > 0
* Γ2: 5*(- 1)^2 - 190*(- 1) + 5*3^2 + 80*3 + 361 = 841 > 0
perciò, essendo B esterno a Γ in entrambi i casi, il problema ha due soluzioni entrambe valide.
I due vertici C sono l'intersezione di r con la seconda tangente a Γ tirata da B.