Disequazioni goniometriche

La disequazione l'avevo già vista al link
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/25297/
e non m'era sembrata degna di risoluzione perché ho una profonda avversione per gli esercizi stupidi o arzigogolati (e questo lo rimane anche supponendo un errore di stampa che abbia fatto saltare le parentesi a racchiudere i due primi termini, cioè
* (3*sin(x) - (√3)*cos(x))*((2*cos(x) + 1)*(2 + sin(x))) < 0 (arzigogolato)
anziché
* 3*sin(x) - (√3)*cos(x)*((2*cos(x) + 1)*(2 + sin(x))) < 0 (stupido)
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Svilupperò la versione stupida limitatamente al primo periodo [0, 2*π).
Con
* (sin(x) = s) & (cos(x) = c) & (c^2 + s^2 = 1)
si ha
* 3*sin(x) - (√3)*cos(x)*((2*cos(x) + 1)*(2 + sin(x))) =
= 3*s - (√3)*c*((2*c + 1)*(2 + s))
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* (3*s - (√3)*c*((2*c + 1)*(2 + s)) < 0) & (c^2 + s^2 = 1) ≡
≡ 3*√(1 - c^2) - (√3)*c*((2*c + 1)*(2 + √(1 - c^2))) < 0
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La
* y = f(x) = 3*√(1 - x^2) - (√3)*x*((2*x + 1)*(2 + √(1 - x^2)))
è definita reale per x in [- 1, 1], con un solo massimo (relativo e assoluto) positivo, un solo minimo (relativo e assoluto) negativo, e due zeri; quindi è negativa all'esterno degli zeri.
Non soltanto i relativi valori non sono determinabili in termini simbolici, ma anche determinarli con metodi grafico-numerici è macchinoso.
La procedura per gli zeri è: razionalizzare per quadrature, approssimare gli zeri reali, escludere le spurie introdotte quadrando.
La procedura per gli estremi è il test standard sulle due prime derivate, che però ricade nella ricerca degli zeri e dei segni di espressioni complicate.
La dattilografia necessaria per riportare il tutto sarebbe un incubo al di là della pazienza di ogni persona mentalmente sana (o, almeno, non insana!).
A MERO TITOLO D'ESEMPIO
* y = f(x) = 3*√(1 - x^2) - (√3)*x*((2*x + 1)*(2 + √(1 - x^2))) = 0 ≡
≡ √(1 - x^2) = (√3)*x*((2*x + 1)*(2 + √(1 - x^2)))/3 ≡
≡ (1 - x^2) = ((√3)*x*((2*x + 1)*(2 + √(1 - x^2)))/3)^2 ≡
≡ ((√3)*x*((2*x + 1)*(2 + √(1 - x^2)))/3)^2 - (1 - x^2) = 0 ≡
≡ 4*x^6 + 4*x^5 - 19*x^4 - 20*x^3 - 8*x^2 + 3 - (16*x^4 + 16*x^3 + 4*x^2)*√(1 - x^2) = 0 ≡
≡ √(1 - x^2) = (4*x^6 + 4*x^5 - 19*x^4 - 20*x^3 - 8*x^2 + 3)/(16*x^4 + 16*x^3 + 4*x^2) ≡
≡ (1 - x^2) = ((4*x^6 + 4*x^5 - 19*x^4 - 20*x^3 - 8*x^2 + 3)/(16*x^4 + 16*x^3 + 4*x^2))^2 ≡
≡ ((4*x^6 + 4*x^5 - 19*x^4 - 20*x^3 - 8*x^2 + 3)/(16*x^4 + 16*x^3 + 4*x^2))^2 - (1 - x^2) = 0 ≡
≡ (16*x^12 + 32*x^11 + 120*x^10 + 200*x^9 + 265*x^8 + 312*x^7 + 360*x^6 + 216*x^5 - 66*x^4 - 120*x^3 - 48*x^2 + 9)/(16*(x^4)*(2*x + 1)^4) = 0 ≡
≡ ... e penso che basti così.
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Si arriva a
* 3*√(1 - c^2) - (√3)*c*((2*c + 1)*(2 + √(1 - c^2))) < 0 ~≡
~≡ (c < - 0.77) oppure (c > 0.33) ~≡
~≡ ((cos(x) < - 0.77) oppure (cos(x) > 0.33)) & (0 <= x < 2*π) ~≡
~≡ (cos(x) < - 0.77) & (0 <= x < 2*π) oppure (cos(x) > 0.33) & (0 <= x < 2*π) ~≡
~≡ (arccos(- 77/100) < x < 2*π - arccos(- 77/100)) oppure (0 <= x < arccos(33/100)) oppure (2*π - arccos(33/100) < x < 2*π) ~≡
~≡ (140.4° < x < 219.6°) oppure (0 <= x < 70.73°) oppure (289.3° < x < 2*π)
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CHE ERRORE DI STAMPA CI SARA' MAI STATO? 'A MARONN' 'O SAPE!

@carlocolombo

@exprof 

Ciao. Penso anch'io che sia come tu prospetti. Però penso che sia da tenere presente la prima e non la seconda. A quel punto hai tre fattori con l'ultimo >0 per ogni valore reale di x che si potrebbe escludere. Il segno sarebbe dato a mio parere solo dai primi due fattori.

@LucianoP @CarloColombo
Secondo il parere di Luciano ci riprovo, sul periodo [0, 2*π), con
* (3*sin(x) - (√3)*cos(x))*((2*cos(x) + 1)*(2 + sin(x))) < 0 (arzigogolato) ≡
≡ (3*sin(x) - (√3)*cos(x))*(2*cos(x) + 1) < 0 ≡
≡ (2*√3)*sin(x - π/6)*(2*cos(x) + 1) < 0 ≡
≡ (sin(x - π/6) < 0) & (2*cos(x) + 1 > 0) & (0 <= x < 2*π) oppure (sin(x - π/6) > 0) & (2*cos(x) + 1 < 0) & (0 <= x < 2*π) ≡
≡ ((0 <= x < π/6) oppure (7*π/6 < x < 2*π)) & ((0 <= x < 2*π/3) oppure (4*π/3 < x < 2*π)) oppure (π/6 < x < 7*π/6) & (2*π/3 < x < 4*π/3) ≡
≡ (0 <= x < π/6) & (0 <= x < 2*π/3) oppure (7*π/6 < x < 2*π) & (0 <= x < 2*π/3) oppure (0 <= x < π/6) & (4*π/3 < x < 2*π) oppure (7*π/6 < x < 2*π) & (4*π/3 < x < 2*π) oppure (2*π/3 < x < 7*π/6) ≡
≡ (0 <= x < π/6) oppure (insieme vuoto) oppure (insieme vuoto) oppure (4*π/3 < x < 2*π) oppure (2*π/3 < x < 7*π/6) ≡
≡ (0 <= x < π/6) oppure (2*π/3 < x < 7*π/6) oppure (4*π/3 < x < 2*π)
NON CAMBIO OPINIONE: è un esercizio di palta, scritto a PdL (Pène di Levrièro).