Dimostra che l'equazione
$$
\frac{1}{x^4+1}-\arctan x^2+1=0
$$
ammette due e solo due soluzioni reali $x_1$ e $x_2$. Individua poi due intervalli di semiampiezza $\frac{1}{2}$ che contengano rispettivamente $x_1$ e $x_2$.
Buonasera qualcuno mi puó spiegare l’esercizio 2?
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Livello 1
Poiché la funzione proposta é pari
basterà provare che esiste una unica x2 positiva e poi sarà x1 = -x2
f(0) = 1 - 0 + 1 = 2 > 0
lim_x->+oo f(x) = 0 - pi/2 + 1 = (2 - pi)/2 = - 1/2 (pi - 2) < 0
la funzione f é continua in R e quindi verifica il teorema degli zeri in
[0, +oo[
f(1) = 1/2 - pi/4 + 1 > 0
per cui risulta x2 > 1
f(2) = 1/17 - arctan 4 + 1 = - 0.267 ( a tentativi)
per cui ]1,2[ contiene x2
e per simmetria ]-2,-1[ contiene x1
Conferma grafica
https://www.desmos.com/calculator/m7msalvv8b
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Livello 7
@eidosm grazie mille
Separando i termini razionali a primo membro e quello trascendente a secondo
* 1/(x^4 + 1) - arctg(x^2) + 1 = 0 ≡
≡ 1/(x^4 + 1) + 1 = arctg(x^2)
si vede che le radici reali sono le ascisse delle eventuali intersezioni fra i grafici di
1) y = 1/(x^4 + 1) + 1 = (x^4 + 2)/(x^4 + 1)
2) y = arctg(x^2)
entrambe funzioni pari e con pendenze di segno opposto tranne che nell'origine.
1) ha il massimo in (0, 2) e decresce simmetricamente e monotonicamente verso l'asintoto y = 1.
2) ha il minimo in (0, 0) e cresce simmetricamente e monotonicamente verso l'asintoto y = π/2.
Perciò ha esattamente due radici reali.
QED
Poi è richiesto anche di separarle entro un'intervallo di ampiezza uno e, non avendo modo di calcolarle simbolicamente, è giuocoforza usare un grafico per localizzarle grossolanamente (dalle parti di ± 3/2) e poi raffinarle numericamente o "par tâtonnement" o sviluppando il termine trascendente attorno a quella localizzazione.
Per quanto richiesto è sufficiente la localizzazione grossolana
* (- 2 < X1 < - 1) oppure (1 < X2 < 2)
http://www.wolframalpha.com/input?i=plot%5B1%2F%28x%5E4--1%29--1%3Darctg%28x%5E2%29%5Dx%3D-3to3
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Genius I
