Data l'equazione $x^2-4 x-k+4=0$, determina per quali valori di $k$ :
a. ammette soluzioni reali;
b. ammette soluzioni reali $x_1$ e $x_2$ tali che $x_1^3+x_2^3=40$;
c. ammette soluzioni reali $x_1$ e $x_2$ tali che $x_1+x_2+x_1^2 x_2+x_2^2 x_1=-8$.Ho problemi con il punto c.
Mi potreste aiutare? Grazie
129
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Livello 1
realtà delle radici
D = 16 - 4*1(-k+4) >= 0
16 + 4k - 16 >= 0
4k >= 0
k >= 0
x1 + x2 + x1x2 (x1 + x2) = -8
-B/A - B/A * C/A = -8
B/A + BC/A^2 = 8
e con A = 1
B + BC = 8
-4 + (-4)*(- k + 4) = 8
-4 + 4k - 16 = 8
4k = 28
k = 7
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Livello 7
@eidosm grazie mille Eidos!!!!
Punto c)
Prima di tutto scrivo quella condizione in una forma più sintetica: mi accorgo quindi che si può scrivere mediante i coefficienti a,b,c, dell'equazione, ricordandomi le relazioni che li legano alla somma e prodotto delle radici.
La scrittura quindi viene particolarmente semplice e si ricava k = 7
🙂
4735
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Livello 6
Unifico le risposte @Silvia_Maracci6930 per due equazioni parametriche entrambe della forma
* x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2) = 0
con
* Δ = s^2 − 4*p
* X1 = (s - √Δ)/2
* X2 = (s + √Δ)/2
* X1 + X2 = s (somma)
* X1 * X2 = p (prodotto)
* 1/X1 + 1/X2 = s/p (somma degl'inversi)
* (X1)^2 + (X2)^2 = s^2 − 2*p (somma dei quadrati)
* 1/(X1)^2 + 1/(X2)^2 = (s/p)^2 - 2/p (somma dei quadrati degl'inversi)
Vedi al link
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/188982/
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61) http://www.sosmatematica.it/forum/postid/189061/
* x^2 - 2*(k - 2)*x - 4*k + 4 = 0
con
* s = 2*(k - 2)
* p = 4*(1 - k)
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a) X1, X2 reali, distinte ≡ s^2 > 4*p ≡
≡ (2*(k - 2))^2 > 4*4*(1 - k) ≡ k != 0
---------------
b) X1, X2 reali, concordi ≡ (s^2 > 4*p) & (p > 0) ≡
≡ (k != 0) & (4*(1 - k) > 0) ≡
≡ (k != 0) & (k < 1)
---------------
c) X1, X2 reali, discordi ≡ (s^2 > 4*p) & (p < 0) ≡
≡ (k != 0) & (4*(1 - k) < 0) ≡ k > 1
---------------
d) X1, X2 reali, entrambe positive ≡ (s^2 > 4*p) & (X1 > 0) ≡
≡ (k != 0) & (2*(k - 2) > √((2*(k - 2))^2 - 4*4*(1 - k))) ≡
≡ (k != 0) & (impossibile) ≡
≡ impossibile
---------------
e) X1, X2 reali, entrambe negative ≡ (s^2 > 4*p) & (X2 < 0) ≡
≡ (k != 0) & (2*(k - 2) + √((2*(k - 2))^2 - 4*4*(1 - k)) < 0) ≡
≡ (k != 0) & (k < 1)
vedi consegna b.
NB: il risultato atteso è errato.
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66) http://www.sosmatematica.it/forum/postid/189066/
* x^2 - 4*x - k + 4 = 0
con
* s = 4
* p = 4 - k
---------------
a) X1, X2 reali ≡ s^2 >= 4*p ≡
≡ 4^2 >= 4*(4 - k) ≡ k >= 0
---------------
b) (s^2 >= 4*p) & ((X1)^3 + (X2)^3 = 40) ≡
≡ (k >= 0) & (((s - √(s^2 − 4*p))/2)^3 + ((s + √(s^2 − 4*p))/2)^3 = 40) ≡
≡ (k >= 0) & (((4 - √(4^2 - 4*(4 - k)))/2)^3 + ((4 + √(4^2 - 4*(4 - k)))/2)^3 = 40) ≡
≡ (k >= 0) & (4*(3*k + 4) = 40) ≡
≡ k = 2
---------------
c) (s^2 >= 4*p) & (X1 + X2 + X2*(X1)^2 + X1*(X2)^2 = (X1 + X2)*(X1*X2 + 1) = - 8) ≡
≡ (k >= 0) & (s*(p + 1) = - 8) ≡
≡ (k >= 0) & (4*(4 - k + 1) = - 8) ≡
≡ k = 7
57798
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Genius I
