Dato il triangolo $A B C$ di vertici $A(1 ; 1), B(4 ; 7), C(-5 ; 4)$ :
a. verifica che è un triangolo rettangolo;
b. determina le equazioni dei lati;
c. determina l'ortocentro (non sono necessari calcoli, perché...);
d. determina il circocentro (ricorda che il circocentro del triangolo rettangolo è...).
[b) $2 x-y-1=0 ; x-3 y+17=0, x+2 y-3=0 ;$ c) $(1 ; 1)$; d) $\left.\left(-\frac{1}{2} ; \frac{11}{2}\right)\right]$
14
punti
Livello 0
a) AB^2 = (1 - 4)^2 + (1 - 7)^2 = 9 + 36 = 45
BC^2 = (4 + 5)^2 + (7 - 4)^2 = 81 + 9 = 90
AC^2 = (1 + 5)^2 + (1 - 4)^2 = 36 + 9 = 45
Il triangolo é rettangolo perché 45 + 45 = 90
AB^2 + AC^2 = BC^2 e l'ipotenusa é BC
Fra l'altro il triangolo é anche isoscele (AB = AC)
b) AB)
m = (7 - 1)/(4 - 1) = 6/3 = 2
y - 1 = 2(x - 1)
y = 2x - 1 ovvero 2x - y - 1 = 0
equazione di AC : la perpendicolare ad AB passante per A
y - 1 = -1/2 (x - 1)
y = -1/2 x + 3/2
ovvero 2y + x - 3 = 0 => x + 2y - 3 = 0
equazione di BC
m = (4 - 7)/(-5 - 4) = (7 - 4)/(5 + 4) = 3/9 = 1/3
y - 7 = 1/3 (x - 4 )
3y - 21 - x + 4 = 0
x - 3y + 17 = 0
c) l'ortocentro é A perché in un triangolo rettangolo é
il vertice opposto all'ipotenusa
d) il circocentro é il punto medio dell'ipotenusa BC come in ogni
triangolo rettangolo anche non isoscele
le sue coordinate sono pertanto
xK = (4 - 5)/2 = -1/2
yK = (7 + 4)/2 = 11/2
38627
punti
Livello 7
78625
punti
Genius II
Se ABC, come esito della consegna 'a', risulta essere rettangolo allora:
* l'ortocentro, in quanto punto comune alle altezze, è il vertice dell'angolo retto;
* il circumcentro, in quanto centro del circumcerchio, è il vertice dell'angolo al centro (piatto) corrispondente all'angolo alla circonferenza (retto) che insiste sul diametro (ipotenusa), cioè è il punto medio fra i vertici degli angoli acuti.
La verifica che ABC sia triangolo rettangolo va a buon fine se e solo se fra le rette dei lati ce ne sono due con pendenze antinverse (m' = - 1/m).
Quindi la successione dei calcoli è come segue.
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1) b. Determinare le equazioni "dei lati (segmenti coi vertici come estremi)".
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* A + k*(B - A) = (1, 1) + k*((4, 7) - (1, 1)) = (1 + 3*k, 1 + 6*k) →
→ AB ≡ P(1 + 3*k, 1 + 6*k) & (0 <= k <= 1)
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* A + k*(C - A) = (1, 1) + k*((- 5, 4) - (1, 1)) = (1 - 6*k, 1 + 3*k) →
→ AC ≡ P(1 - 6*k, 1 + 3*k) & (0 <= k <= 1)
--------
* A + k*(B - C) = (- 5, 4) + k*((4, 7) - (- 5, 4)) = (9*k - 5, 3*k + 4) →
→ CB ≡ P(9*k - 5, 3*k + 4) & (0 <= k <= 1)
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2) Determinare le equazioni delle rette dei lati eliminando k dai cursori P.
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* (x = 1 + 3*k) & (y = 1 + 6*k) ≡ (k = (x - 1)/3) & (AB ≡ y = 2*x - 1)
* (x = 1 - 6*k) & (y = 1 + 3*k) ≡ (k = (1 - x)/6) & (AC ≡ y = (3 - x)/2)
* (x = 9*k - 5) & (y = 3*k + 4) ≡ (k = (x + 5)/9) & (BC ≡ y = (x + 17)/3)
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3) a. Verificare che ce ne siano due con pendenze antinverse.
Ci sono: AB ha pendenza m = 2; AC ha pendenza m' = - 1/m = - 1/2.
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4) c. + d. Determinare, se la verifica va a buon fine, ortocentro e circumcentro.
* A(1, 1) è il vertice dell'angolo retto, l'ortocentro.
* M = (B + C)/2 = ((4, 7) + (- 5, 4))/2 = (- 1/2, 11/2) è il punto medio fra i vertici degli angoli acuti, il circumcentro.
52257
punti
Genius I
