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[Risolto] vi prego domani ho un interrogazione sulle iperbole

  

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L'iperbole di equazione $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ rappresentata in figura è tangente alle rette $t_1$, di equazione $y=-14 x-24$, e $t_2$, di equazione $-26 x+11 y=24$.
a. Determina l'equazione dell'iperbole.
b. Considera i quattro punti dell'iperbole che sono vertici di un quadrato con $i$ lati paralleli agli assi. Indicato con $A$ uno di questi quattro punti, osserva che $A$ è il punto medio del segmento che ha come estremi i punti $M$ e $N$ che ottieni intersecando la retta tangente in $A$ all'iperbole con i suoi asintoti.
a) $\left.\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{12}=1\right]$

CAPTURE 20230913 161713
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1 Risposta



1

Scrivo l'iperbole:

x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1

con  x^2/α - y^2/β = 1

Tale iperbole deve rispettare la tangenza con la retta:

y = - 14·x - 24

e con la retta:

- 26·x + 11·y = 24

--------------------------------------

Il rispetto della tangenza alla prima retta porta a scrivere:

x^2/α - (- 14·x - 24)^2/β = 1

- (x^2·(196·α - β) + 672·α·x + 576·α)/(α·β) = 1

x^2·(196·α - β) + 672·α·x + 576·α + α·β = 0

-------------------------------------------------------

Il rispetto della tangenza alla seconda retta porta a scrivere:

x^2/α - (2·(13·x + 12)/11)^2/β = 1

- (x^2·(676·α - 121·β) + 1248·α·x + 576·α)/(121·α·β) = 1

x^2·(676·α - 121·β) + 1248·α·x + 576·α + 121·α·β = 0

---------------------------------------------------------

Applicando la condizione di tangenza : Δ/4 = 0

ai due risultati così ottenuti si ottiene il sistema:

{(336·α)^2 - (196·α - β)·(576·α + α·β) = 0

{(624·α)^2 - (676·α - 121·β)·(576·α + 121·α·β) = 0

Risolvendo il sistema si arriva alla soluzione:

[β = 0, α = 0, α = 3 ∧ β = 12, α = 144/169 ∧ β = 0]

Quella in grassetto è la sola da prendere in considerazione per cui l'iperbole è:

x^2/3 - y^2/12 = 1

image

Gli asintoti sono: y=-2x ed y=2x



Risposta
SOS Matematica

4.6
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