Sia $\Sigma$ la superficie sferica di equazione $x^2+y^2+z^2=4$. Calcolare il flusso del campo $\vec{F}=\ln \left(x^2+y^2+z^2\right)(x, y, z)$ attraverso $\Sigma$, orientata con normale che punta lontano dal centro. Usando il risultato ottenuto, dire quanto vale il flusso di $\vec{F}$ uscente da $V=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid a^2 \leq x^2+y^2+z^2 \leq b^2\right\}$.
La domanda è nell'allegato
Ditemi per favore dove trovare questa formula
189
punti
Livello 1
Il versore normale a una sfera è dato dal vettore posizione normalizzato
\[\hat{n} = \frac{\vec{OP}}{||\vec{OP}||} \mid \hat{n} = \frac{(x,y,z)}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{(x,y,z)}{2}\,.\]
Per una superficie cartesiana generica, si ha
\[\hat{n} = \frac{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\,,\frac{\partial z}{\partial y}, \pm 1\right)}{\sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}}\,,\]
di equazione $z = f(x,y)\,$.
Il motivo per cui non si è usata la formula cartesiana risiede nella geometria della superficie. Per una sfera il versore normale è sempre radiale, con verso centrifugo, ergo è il vettore posizione normalizzato. Per superfici generiche definite in forma cartesiana, il versore normale dipende da "pendenze" rispetto alla topologia, osservabile dalla relazione matematica.
3831
punti
Livello 5
Ok mille grazie
