Verifica limite dalla sua definizione

Come mia consuetudine, non sono l'unico, come  primo passo, nella soluzione di limiti per x→-∞ di funzioni che contengono radici, opero un cambio di variabile. Risolvo così il problema del segno della √x²

Poniamo y = -x ottenendo il limite equivalente

$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{-y}{\sqrt{y^2-1}} = -1 $ ovvero

$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{y}{\sqrt{y^2-1}} = 1 $    

La definizione da provare è quindi

$ \forall ε > 0, \quad \exists M > 0 \; t.c. \; \forall y > M \qquad |\frac{y}{\sqrt{y^2-1}} -1|<ε $

a partire dall'ultima disequazione si ha

$ | \frac{y-\sqrt{y^2-1}}{\sqrt{y^2-1}} | < ε $

prima di razionalizzare il numeratore osserviamo che la funzione è definita per y < -1 ∧ y > 1

$ | \frac{y^2-y^2+1}{\sqrt{y^2-1}(y+\sqrt{y^2-1})} | < ε $
$ | \frac{1}{\sqrt{y^2-1}(y+\sqrt{y^2-1})} | < ε $
$ |\sqrt{y^2-1}(y+\sqrt{y^2-1}) | > \frac{1}{ε} $
essendo y→∞ l'espressione all'interno del modulo è positiva
$ \sqrt{y^2-1}(y+\sqrt{y^2-1})  > \frac{1}{ε} $ 

Per valori di y molto grandi $\sqrt{y^2-1} ≈ y$ per cui

$ y(y+y) > \sqrt{y^2-1}(y+\sqrt{y^2-1}) > \frac{1}{ε} $ 
$ y^2 > \frac{1}{2ε} $
$ y > \sqrt{\frac{1}{2ε}} $

Se poniamo $M = \sqrt{\frac{1}{2ε}} $ abbiamo dimostrato che esiste un M > 0 tale che ...