Verifica del limite

Per la verifica del primo limite bisogna vedere se, preso arbitrariamente un numero K> , grandissimo a piacere, è possibile determinare in corrispondenza di esso un intorno completo (piccolissimo) del punto x=-1 tale per cui è verificata la disequazione: f(x)>k

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{1/(x + 1)^2 > k

{k > 0

quindi: (x+1)^2<1/k-----> - √(1/k) < x + 1 < √(1/k)

-1 - √(1/k) < x < -1 + √(1/k)

che fornisce appunto un intorno completo di x=-1 (piccolissimo in dipendenza di k)

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Per la verifica del secondo limite bisogna vedere se, preso arbitrariamente un numero ε > 0, piccolissimo a piacere, è possibile determinare in corrispondenza di esso un intorno completo del punto

x=2 per cui risulti soddisfatta la disequazione in modulo: | f(x) - l |< ε

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|(x-x^2)+2 |<ε------>   -ε <(x-x^2)+2<+ε

che equivale a scrivere il sistema:

{-x^2+x+(2-ε)<0

{-x^2+x+(2+ε)>0

Quindi:

{x < (1 - √(9 - 4·ε))/2 ∨ x > (1 + √(9 - 4·ε))/2

{(1 - √(4·ε + 9))/2 < x < (1 - √(4·ε + 9))/2

sistema che dovrebbe fornire un intorno completo del punto x=2