Un punto materiale si muove in un piano. La sua legge oraria, espressa in coordinate polari, è
$$
\begin{aligned}
& r(t)=r_0-v_r t, \\
& \varphi(t)=\frac{1}{2} \alpha t^2,
\end{aligned}
$$
valida per $0 \geq t \geq r_0 / v_r$. Determinare il vettore velocità del punto quando essso raggiunge l'origine.
Buongiorno, volevo chiedere se qualcuno riuscisse a darmi la soluzione del seguente esercizio. Grazie in anticipo!
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Livello 2
Adatto i simboli alla scrittura dattilografica.
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Dalla legge oraria
* (r(t) = R - v*t) & (φ(t) = (a/2)*t^2)
si ricavano le componenti ortogonali della velocità
* (dr/dt = - v) & (dφ/dt = a*t)
e il suo modulo
* V(t) = √(v^2 + (a*t)^2)
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Il mobile raggiunge l'origine all'istante T tale che
* r(T) = R - v*T = 0 ≡ T = R/v
quando
* φ(T) = (a/2)*(R/v)^2
* V(T) = √(v^2 + (a*R/v)^2)
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Il richiesto "vettore velocità" ha componenti polari quelle appena viste
* v(T) = (V, φ)
e componenti cartesiane
* vx(T) = V*cos(φ)
* vy(T) = V*sin(φ)
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Quanto sopra dipende dalla plausibilità dei tre parametri
* distanza iniziale R > 0
* velocità radiale v > 0
* accelerazione angolare a != 0
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Genius I
@exprof Grazie mille!
r(T) = 0
quando ro - vr T = 0 => T = ro/Vr
Ora r(t) = x(t) i + y(t) j = r(t) cos @(t) i + r(t) sin @(t) j = r(t) * [ cos @(t) i + sin @(t) j ]
v(t) = dr/dt = - vr [ cos (a/2)t^2 i + sin (a/2 t^2) j ] + (ro -vr t) [ - sin (a/2 t^2) i + cos (a/2 t^2) j ] * at
il secondo addendo va a 0 per t = T perché si annulla il primo fattore
v(T) = - vr [ cos (a/2 ro^2/vr^2) i + sin (a/2 ro^2/vr^2) j ]
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Livello 6
@eidosm Grazie mille!
