Un'urna contiene 8 palline nere e $n$ palline bianche, con $n \geq 1$. Si estraggono successivamente dall'urna due palline (estraendo la seconda senza rimettere la prima pallina estratta nell'urna). Se le due palline estratte hanno lo stesso colore si vince 1 euro, se sono di colore diverso si perde 1 euro. Per quali valori di $n$ il gioco è favorevole al giocatore?
$[1 \leq n \leq 4 \vee n \geq 13]$
Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi ed argomentare.
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Livello 2
Stesso colore:
Ρ(Ν,Ν) + Ρ(Β,Β)
8/(n + 8)·(7/(n + 7)) + n/(n + 8)·((n - 1)/(n + 7)) =
=(n^2 - n + 56)/((n + 7)·(n + 8))
In tal caso X = 1€
Colore diverso:
Ρ(Ν,Β) + Ρ(Β,Ν)
8/(n + 8)·(n/(n + 7)) + n/(n + 8)·(8/(n + 7)) =
=16·n/((n + 7)·(n + 8))
In tal caso X = -1€
Il gioco ha un valore atteso (medio) pari a:
μ = 1·(n^2 - n + 56)/((n + 7)·(n + 8)) + (-1)·(16·n/((n + 7)·(n + 8)))
μ = (n^2 - 17·n + 56)/((n + 7)·(n + 8))
E' favorevole al giocatore se risulta:
μ > 0
Dovendo essere n ≥ 1, possiamo fare riferimento esclusivamente al numeratore:
quindi dovrà essere
n^2 - 17·n + 56 > 0
risolta fornisce:
n < 4.47 ∨ n > 12.53 (valori che poi dobbiamo arrotondare a numero intero)
Quindi considerando il sistema:
{n < 4.47 ∨ n > 12.53
{n ≥ 1
fornisce: 1 ≤ n ≤ 4 ∨ n ≥ 13 tenendo conto del fatto che n debba essere naturale
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Genius III
Per semplicità considero che n sia almeno 2.
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Livello 7
