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[Risolto] problemi iperbole

  

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Vi prego la prof mi ha dato questi due problemi. Ringrazio in anticipo chi me li fa *URGENTE*

 

1) La retta y=2x-4 è tangente a un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti. Scrivi l'equazione dell'iperbole e determina il punto di tangenza [risultato: xy=-2 ; (1,-2)

 

2) Un'iperbole riferita agli asintoti ha i vertici nel secondo e quarto quadrante e la loro distanza è 8. Scrivi l'equazione dell'iperbole e le coordinate dei fuochi [risultato: xy=-8 ; F1(-4,4) F2(4,-4)

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A parte il fatto che il testo è scritto da cani, scrivi l'eq dell'iperbole come $xy=k$ ovvero $y=k/x$ e sostituisci nell'equazione della retta. Ottieni

$k/x=2x-4$ ovvero $2x^2-4x-k=0$

Qui devi imporre che il $\Delta$ sia uguale a $0$ affinché retta e iperbole siano tangenti:

$\Delta=16+8k=0$ e quindi $k=-2$

L'iperbole ha quindi equazione $xy=-2$.

La x del punto di tangenza è $x=1$ (unica soluzione dell'equazione di secondo grado) e quindi il punto di tangenza è $P(1,-2)$

Es .2 se definisci l'eq. dell'iperbole come $xy=-k^2$ allora i due vertici hanno coordinate:

$V_1=(-k,k)$ e $V_2=(k,-k)$

La loro distanza è $D=\sqrt{(2k)^2+(2k)^2}=\sqrt{8k^2}=8$

Quindi $8k^2=64$ e quindi $k^2=8$

Pertnato l'equazione è $xy=-8$ 






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