[Risolto] Aiuto esercizio

Se c'è un solo parametro io lo chiamo k perché il nome a lo riserbo al coefficiente direttore.
L'equazione nelle variabili reali k e x, con x incognita e k != 1 parametro, per quest'ultima clausola si può dividere membro a membro per (k - 1) ottenendo la forma "trinomio quadratico monico = 0".
* (k - 1)*x^2 - 4*x + 1 = 0 ≡
≡ p(x) = x^2 - (4/(k - 1))*x + 1/(k - 1) = 0
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RIPASSO
In generale, il trinomio quadratico monico
* T(x) = x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2),
con discriminante
* Δ = s^2 − 4*p
e zeri
* X = (s ± √Δ)/2
cioè
* X1 = (s - √Δ)/2
* X2 = (s + √Δ)/2
ha gli zeri X1 e X2 tali che
* X1 + X2 = s (somma)
* X1 * X2 = p (prodotto)
che sono distinti se il discriminante Δ è non nullo
* complessi coniugati se Δ < 0
* reali se Δ > 0, con X1 < X2.
Se Δ = 0 gli zeri sono reali, ma non distinti: X1 = X2.
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Nel caso in cui i coefficienti (s, p) siano funzioni (s(k), p(k)) di un parametro k, ogni vincolo V(X1, X2) = 0 sugli zeri si traduce, tramite l'espressione X = (s ± √Δ)/2, in due equazioni in k.
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ESERCIZIO 914
Con
* s = 4/(k - 1)
* p = 1/(k - 1)
si ha
* Δ = s^2 − 4*p = 4*(5 - k)/(k - 1)^2
* √Δ = 2*√((5 - k)/(k - 1)^2)
* X1 = 2/(k - 1) - √((5 - k)/(k - 1)^2)
* X2 = 2/(k - 1) + √((5 - k)/(k - 1)^2)
e su ciò si preparano le RISPOSTE AI QUESITI.
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d) "radici positive" ≡ (Δ >= 0) & (X1 > 0) ≡
≡ (4*(5 - k)/(k - 1)^2 >= 0) & (2/(k - 1) - √((5 - k)/(k - 1)^2) > 0) ≡
≡ ((k != 1) & (k <= 5)) & (1 < k <= 5) ≡
≡ 1 < k <= 5
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e) "X1 = 2/X2" ≡ p = 2 ≡ 1/(k - 1) = 2 ≡ k = 3/2
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f) "X1 = - X2 + 2/3" ≡ s = 2/3 ≡ 4/(k - 1) = 2/3 ≡ k = 7
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g) "X1 = X2 + 1" ≡ IMPOSSIBILE, infatti
* X1 = X2 + 1 ≡
≡ 2/(k - 1) - √((5 - k)/(k - 1)^2) = 2/(k - 1) + √((5 - k)/(k - 1)^2) + 1 ≡
≡ - √((5 - k)/(k - 1)^2) = + √((5 - k)/(k - 1)^2) + 1 ≡
≡ - 2*√((5 - k)/(k - 1)^2) = 1 ≡
≡ √((5 - k)/(k - 1)^2) = - 1/2 ≡
≡ √(5 - k) = - |k - 1|/2
Per k != 1 si ha - |k - 1|/2 < 0
Per k < 5 si ha √(5 - k) > 0
Per k = 5 si ha √(5 - k) = 0
Per k > 5 si ha √(5 - k) = valore immaginario