La carica contenuta all'interno della sfera è pari a:
$Q= \sigma \cdot V = \frac{4}{3} \pi R^3 \sigma$
Il campo elettrico generato da una sfera carica, al di fuori della sfera a distanza $z$ vale:
$E_1(z) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{z^2}$
dunque sostituendo l'espressione di Q:
$E_1(z) = \frac{\sigma R^3}{3\epsilon_0 z^2}$
Il campo è diretto in direzione radiale, dunque diretto lungo l'asse z:
$ E_1(z) = (0, \frac{\sigma R^3}{3\epsilon_0 z^2})$
Il campo generato dal piano infinito ha invece modulo costante e pari a:
$ E_2(z) = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$
ed è diretto perpendicolarmente al piano, dunque lungo l'asse x:
$ E_2(z) = (\frac{\sigma}{2\epsilon_0}, 0)$
Il campo elettrico totale ha dunque componenti:
$ E(z) = E_1(z)+E_2(z)$
$ E(z) = (\frac{\sigma}{2\epsilon_0}, \frac{\sigma R^3}{3\epsilon_0 z^2})$
Calcolato per $z=0.50 m$ abbiamo:
$ E(0.50 m) = (0.11, 8.1\times 10^{-6}) V/m$
dunque il suo modulo è:
$ E(z) =\sqrt{E_x^2+E_z^2} = 0.11 V/m$
Affinché il campo formi un angolo di 45°, dobbiamo chiedere che:
$ 45° = arctan(\frac{E_z}{E_x})$
e dunque:
$ 1 = \frac{E_z}{E_x}$
da cui deduciamo che:
$ E_z = E_x$
Poniamo dunque:
$\frac{\sigma R^3}{3\epsilon_0 z^2} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$
da cui:
$z= \sqrt{\frac{2R^3}{3}} = 0.0042 m$
Noemi
