[Risolto] un ellisse ha un fuoco in (0; 2√2) e passa per (√5/3;2). quale è la sua equazione?

x^2/α + y^2/β = 1

passa per [√5/3, 2]

ha uno dei due fuochi sull'asse delle y: [0, 2·√2]

Deve quindi essere β > α

Si è posto:

α = a^2 ; β = b^2 ; α = β - γ= β - (2·√2)^2=β - 8

Quindi:

{(√5/3)^2/α + 2^2/β = 1

{α = β - 8

per cui per sostituzione:

5/(9·α) + 4/β = 1------> 5/(9·(β - 8)) + 4/β = 1

risolvendo si ottiene:

β = 32/9 ∨ β = 9

per il primo si ha: α = 32/9 - 8= - 40/9 <0 non accettabile

per il secondo:

α = 9 - 8 = 1>0

Quindi:  x^2 + y^2/9 = 1

 

 

Caro Mimmo, temo che la tua trascrizione non sia stata molto fedele all'originale.
In primo luogo perché i nomi delle coniche {parabola, iperbole, ellisse, circonferenza} sono tutt'e quattro femminili, quindi "un ellisse" è un errore di grammatica talmente grossolano da non credere che fosse in un testo scolastico.
Ma poi soprattutto perché dev'esserti rimasta nella tastiera la specificazione "riferita ai suoi assi di simmetria", la sola che giustificherebbe l'aver posto due sole condizioni per ottenere una sola ellisse invece che una molteplice infinità.
-----------------------------
Ammettendo che si chieda "un'ellisse riferita ai suoi assi di simmetria", per P(√5/3, 2) e con un fuoco in F(0, 2*√2) la risoluzione consiste nell'imporre i vincoli derivanti dalle condizioni alla forma normale standard delle ellissi Γ riferite ai proprî assi di simmetria
* Γ(a, b) ≡ (y/b)^2 = 1 - (x/a)^2
---------------
La condizione di passare per P(√5/3, 2) impone il vincolo d'appartenenza
* (2/b)^2 = 1 - ((√5/3)/a)^2 ≡ (6*a)^2 - (3*a*b)^2 + (b*√5)^2 = 0
---------------
La condizione d'avere il fuoco F(0, 2*√2) impone
* b > a > 0 perché F è sull'asse y
* semidistanza focale c = √(b^2 - a^2) = 2*√2
---------------
La soluzione del sistema dei vincoli determina Γ
* ((2/b)^2 = 1 - ((√5/3)/a)^2) & (√(b^2 - a^2) = 2*√2) & (b > a > 0) ≡
≡ (a = 1) & (b = 3)
* Γ ≡ (y/3)^2 = 1 - (x/1)^2 ≡ 9*x^2 + y^2 - 9 = 0
==============================
Invece, non ammettendo la specificazione "riferita ai suoi assi di simmetria", la famiglia di ellissi che soddisfanno alle due sole condizioni fornite si ottengono ruotando l'asse maggiore attorno ad F(0, 2*√2)
* (x = 0) oppure (x = 0) & (y = 2*√2 + k*x)
e poi adattando l'eccentricità (rapporto fra distanza focale e asse maggiore) in modo da passare per P(√5/3, 2) e da avere F come fuoco. Esempî banali sono quelli delle ellissi non ruotate, che però ti calcoli tu.