[Risolto] Trinomi di secondo grado

Puoi andare a intuito e colpo d'occhio (se hai una certa esperienza), oppure puoi rammentare una formula (se sei certo che la memoria non faccia scherzi), oppure se sei un/a principiante ti attieni a una procedura sistematica che funzione correttamente anche per gli smemorati inesperti, quella che Bramegupta pubblicò nel VII secolo per scomporre qualsiasi trinomio quadratico monico: completare il quadrato dei termini variabili; scrivere il termine noto come opposto di un quadrato; applicare il prodotto notevole "differenza di quadrati"; semplificare.
Nel caso, come questo, in cui il trinomio non sia monico c'è un passaggio preliminare in cui si estrae il fattore di grado zero e uno finale in cui lo si reintroduce.
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* 6*u^2 + 5*u - 6 = 6*(u^2 + (5/6)*u - 1)
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* u^2 + (5/6)*u - 1 =
= (u + 5/12)^2 - (5/12)^2 - 1 =
= (u + 5/12)^2 - (13/12)^2 =
= (u + 5/12 + 13/12)*(u + 5/12 - 13/12) =
= (u + 3/2)*(u - 2/3)
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* 6*u^2 + 5*u - 6 = 6*(u^2 + (5/6)*u - 1) = 6*(u + 3/2)*(u - 2/3)
così l'originale trinomio di grado due s'è scomposto in un fattore di grado zero e due di grado uno, senza bisogno né di memoria né di esperienza.

6·u^2 + 5·u - 6= (2·u + 3)·(3·u - 2)

utilizzo il criterio di decomposizione del termine intermedio 5u.

Cerco:

s = 5

p = 6·(-6) = -36

Individuo i coefficienti del termine intermedio: +9 e -4

Quindi scrivo:

6·u^2 + 9·u - 4·u - 6

(6·u^2 + 9·u) - (4·u + 6) raccolgo a fattori parziali:

3·u·(2·u + 3) - 2·(2·u + 3)

(2·u + 3)·(3·u - 2)

6u² + 5u - 6.

Puoi risolvere l'equazione di 2° grado: trovi le due soluzioni x1 e x2 che azzerano il trinomio:

x^2 + b x + c = 0

Sappiamo che il prodotto x1 * x2 = c; (prodotto delle soluzioni = termine noto);

- (x1 + x2) =  b; (somma delle soluzioni cambiata di segno = b)

x^2 + b x + c = (x - x1) * (x - x2); 

dividendo per 6, diventa:

u² + 5/6 u - 1 = 0;

u = [-5/6 +-radice(25/36 + 4 * 1)] /2

u = [-5/6 +- radice( (25 + 144)/36) ] /2;

u = [- 5/6 +- 13/6] / 2;

u1 = (- 5 + 13) /(6*2) = 8/12 = 2/3; prima soluzione;

u2 = (-5 - 13) /12 = - 18/12 = - 3/2;  seconda soluzione;

(u - u1) * (u - u2) = u2 + bu + c

(u - 2/3 ) * (u + 3/2) = (3u - 2) * (2u + 3);

(3u - 2) * (2u + 3) = 6u^2 + 9u - 4u - 6;

(3u - 2) * (2u + 3) = 6u^2 + 5u -6.

Ciao  @roberta3

due numeri con somma 5 e prodotto 6*(-6) = -36 sono 9 e - 4

così 6 u^2 + 9 u - 4 u - 6 =

= 3u (2u + 3) - 2(2u + 3) =

= (2u + 3)(3u - 2)