In un triangolo rettangolo l'ipotenusa è lunge $20 cm$ e fra gli angoli acuti $\beta$ e $\gamma$ vale la relazione $\sin \beta=2 \sin \gamma$. Trova l'area del triangolo.
$\left[80 cm ^2\right]$
non riesco a capire come sfruttare l’informazione senB=2senA
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Livello 1
Se ci pensi bene é incredibilmente facile. Infatti se α = π/2
allora β + ϒ = π - π/2 = π/2
beta = π/2 - ϒ
sin beta = sin (π/2 - ϒ ) = cos ϒ.
In base all'enunciato cos ϒ = 2 sin ϒ
ovvero tg ϒ = 1/2
Da qui, essendo per le relazioni sui triangoli rettangoli
a = c sin ϒ e
b = c cos ϒ,
risulta pure S = 1/2 a b = c^2/2 sin ϒ * cos ϒ =
= c^2/2 * tg ϒ /(sqrt(1 + tg^2(ϒ)) * 1/sqrt(1 + tg^2(ϒ)) =
= c^2/2 tg ϒ/(1 + tg^2(ϒ)) =
= 20^2/2 * 1/2 : (1 + 1/4) cm^2 =
= 400/4 : 5/4 cm^2 = 400/5 cm^2 = 80 cm^2
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Livello 6
@eidosm grazie mille, si, effettivamente era incredibilmente facile sfruttare quell’informazione. Grazie ancora
In un triangolo rettangolo un cateto è uguale all'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto.
Quindi nel nostro caso:
C1= ipotenusa * sin(gamma)
C2= ipotenusa * 2 * sin (gamma)
Quindi:
C2= 2* C1
Un cateto è doppio dell'altro e l'ipotenusa è 20
5x²=400
x= 4* radice (5) = C1
C2= 8*radice (5)
A=(1/2)*C1*C2 = [4*radice (5)]² = 80
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Genius II
@stefanopescetto grazie mille!
nel tr. ABC con ipotenusa bc applichiamo la def. di seno ai due angoli beta e gamma
sen(beta) = ac/bc
sen(gamma) = ab/bc
in base alla ipotesi del prob. abbiamo:
ac/bc = 2 ab/bc
che semplificando diventa la prima eq. del sistema
ac = 2 ab
la seconda eq. del sistema e' il th. di pit.
ac^2 + ab^2 = 20^2
il sistema risolutivo e':
x = 2 y
x^2 + y^2 = 20^2
s = x y /2
x = 17.88
y = 8.94
s = 80
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Livello 3
@boboclat grazie mille!
