In una semicirconferenza di diametro $\overline{A B}=2 r$ e centro $O$, considera la corda $A C$ tale che $C \widehat{A} B=$ arcsin $\frac{3}{5}$ e la corda $A D$ tale che $D \widehat{A} C \cong C \widehat{A} B$. Determina l'area del quadrilatero $A B C D$.
$$
\left[\frac{768}{625} r^2\right]
$$
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Livello 1
Potete aiutarmi a risolvere il problema?? In particolare non riesco a trovare la misura di AD. Grazie
Calcolo l'area del quadrilatero come somma delle aree dei triangoli ABC e ADC.
BC = 2r * sin (CAB) = 2r* (3/5) = (6/5)*r
AC = 2r * cos (CAB) = 2r*(4/5) = (8/5)*r
Quindi l'area del triangolo rettangolo ABC è:
A(ABC) = 1/2*(6/5)*(8/5)*r² = (24/25)*r²
Calcolo l'area di ADC:
A(ADC) = (1/2)*AD*AC*sin(DAC)
dove:
sin(DAC) = sin (CAB) = 3/5
cos(DAB) = 1 - 2* sin² (CAB) = 1 - 2*(9/25) = 7/25
AD = 2r* cos (DAB) = 2r* 7/25 = (14/25)*r
Quindi:
A(ADC) = (1/2)*(8/5)*(14/25)*(3/5)*r² = (168/625)*r²
L'area del quadrilatero è:
A(ABCD) = [(168/625)+(24/25)]* r² = (768/625)*r²
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Genius II
@stefanopescetto grazie mille. Spiegazione molto chiara
Buona giornata
Con unità di lunghezza r/5 definisco un riferimento Oxy in cui si abbiano
* i punti A(- 5, 0), B(+ 5, 0)
* la semicirconferenza (x^2 + y^2 = 5^2) & (y > 0)
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Calcolo prima le pendenze c di AC e d di AD
* c = tg(arcsin(3/5)) = 3/4
* d = tg(2*arcsin(3/5)) = 24/7
e poi con esse le coordinate di C e di D
* (y = (x + 5)*3/4) & (x^2 + y^2 = 25) & (y > 0) ≡ C(7/5, 24/5)
* (y = (x + 5)*24/7) & (x^2 + y^2 = 25) & (y > 0) ≡ D(- 527/125, 336/125)
Vedi il grafico e il paragrafo "Properties" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=polygon%28-5%2C0%29%285%2C0%29%287%2F5%2C24%2F5%29%28-527%2F125%2C336%2F125%29
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Con questi dati pensi di potercela fare? Se no, descrivi più in dettaglio cosa servirebbe a illuminarti (quali sono le pieghe da spiegare?).
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Genius I
