Trigonometria

@Aurora_Lecchi

Possiamo quindi calcolare l'angolo in B considerando il triangolo rettangolo ABH, dove H è il piede della perpendicolare condotta dal vertice A sull'ipotenusa BC. 

AH = AB* sin (B) 

B= arcsin (AH/AB)  = arcsin (2/radice (5)) = 63,43 gradi

Quindi l'angolo in C risulta:

C= 90-63,43 = 26,57 gradi

Conoscendo le misure dei tre angoli e la lunghezza del cateto AC, posiamo calcolare l'ipotenusa BC utilizzando il teorema dei seni.

BC / sin(90) = AB / sin (C)

BC = 6*radice (5)/ sin (26,57) = 30 cm

Utilizziamo il teorema di Pitagora per trovare l'altro cateto, conoscendo l'ipotenusa e AB

BH = √(6√5)^2-12^2 = √36 = 6 cm

CH = AH^2/BH = 12^2/6 = 24 cm

BC = BH+CH = 6+24 = 30 cm 

AC = √24^2+12^2 = 12√1+4 = 12√5

angolo in B = arctan 2 = 63,435°

angolo in C = arctan 0,5 = 26,565°

B+C = 90,000° 

Davvero l'esercizio 222 ti sembra di trigonometria?
Io vedo una procedura risolutiva immediata con la geometria euclidea e una solo un po' più impicciata con la geometria analitica; ma quella che tu hai supposto nel titolo non la vedo proprio e quindi non posso "aiutarti a impostare questo problema" di trigonometria. Io qui di trigonometria vedo solo il calcolo dell'arcotangente di un rapporto fra cateti per trovare uno degli angoli acuti.
Però posso mostrarti le risoluzioni che sono venute in mente a me.
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GEOMETRIA EUCLIDEA
Col Teorema di Pitagora su ABH si trova |BH|.
Col primo Teorema di Euclide su ABC si trova |BC|.
Col Teorema di Pitagora su ABC si trova |AB|.
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GEOMETRIA ANALITICA
Dati i vertici
* A(0, 0), B(6*√5, 0), C(0, b)
e l'altezza relativa all'ipotenusa
* h = 12
il valore di b che risolve il problema è l'intercetta della retta del fascio centrato in B
* t(m) ≡ y = m*(x - 6*√5)
tangente (in H(u, v) nel primo quadrante) la circonferenza di centro A e raggio h
* x^2 + y^2 = 12^2
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Risolvente
* x^2 + (m*(x - 6*√5))^2 - 12^2 = 0
Discriminante
* Δ(m) = - 144*(m + 2)*(m - 2)
Vincolo di tangenza (Δ = 0)
* m = ± 2
La tangente nel primo quadrante deve avere m = - 2
* t(- 2) ≡ y = - 2*(x - 6*√5)
quindi
* (y = - 2*(x - 6*√5)) & (x^2 + y^2 = 12^2) ≡ H(24/√5, 12/√5)
* (y = - 2*(x - 6*√5)) & (x = 0) ≡ C(0, 12*√5)
infine
* |BC| = 30
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NB: è stato lunghetto da scrivere, ma senza commenti i calcoli si fanno subito.
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TRIGONOMETRIA
* un angolo acuto = arctg((12*√5)/(6*√5)) = arctg(2) ~= 63° 26' 6''
e l'altro è il complementare = arctg(1/2) ~= 26° 33' 54''