Trigonometria 3

15° = pi/12

Triangolo PQT

TH seni:

2/SIN(pi/12) = x/SIN(β) = 2·(√3 + 1)/SIN(β + pi/12)

SIN(β + pi/12) = SIN(β)·COS(pi/12) + SIN(pi/12)·COS(β)

SIN(β + pi/12) = (√6/4 - √2/4)·COS(β) + (√6/4 + √2/4)·SIN(β)

SIN(pi/12) = √6/4 - √2/4

2/(√6/4 - √2/4) =

= 2·(√3 + 1)/((√6/4 - √2/4)·COS(β) + (√6/4 + √2/4)·SIN(β))

2·√6 + 2·√2 = 4·√2·(√3 + 1)/((√3 - 1)·COS(β) + (√3 + 1)·SIN(β))

(√3 - 1)·COS(β) + (√3 + 1)·SIN(β) = 4·√2·(√3 + 1)/(2·√6 + 2·√2)

(√3 - 1)·COS(β) + (√3 + 1)·SIN(β) = 2

COS(β) = Χ

SIN(β) = Υ

Risolvo:

{(√3 - 1)·Χ + (√3 + 1)·Υ = 2

{Υ^2 + Χ^2 = 1

ottengo: [Υ = 1/2 ∧ Χ = √3/2, Υ = √3/2 ∧ Χ = - 1/2]

{SIN(β) = 1/2

{COS(β) = √3/2

quindi: [β = pi/6]

x/SIN(pi/6) = 2·(√3 + 1)/SIN(pi/6 + pi/12)

x/SIN(pi/6) = 2·(√3 + 1)/SIN(pi/4)

x/(1/2) = 2·√6 + 2·√2

x = √6 + √2 in m

Triangolo PTR

TH seni:

y/SIN(pi/6) = z/SIN(pi/4) = 2/SIN(pi/3 + pi/12)

Lo risolvi (è un SISTEMA!) ed ottieni:

y = √6 - √2 in m ∧ z = 2·√3 - 2 in m

QR = x + y =  (√6 + √2) + (√6 - √2) = 2·√6

perimetro triangolo PQR=

=2·(√3 + 1) + 2·√6 + (2·√3 - 2) = 2·√6 + 4·√3 in m

Area=

=Α = 1/2·(2·(√3 + 1))·(2·√6)·SIN(pi/12)

Α = 2·√3 m^2