[Risolto] Trigonometria

@tiz

Ciao. Facciamo riferimento alla figura sotto allegata:

Facile riconoscere angolo al centro indicato con 2x ed angolo alla circonferenza indicato con x.

La relazione indicata in figura e suggerita dal testo si può scrivere: a/c + b/c = 2 (*)

Quindi visto che essa mette in relazione i lati del triangolo indicato in figura, sfruttiamo il teorema dei seni con riferimento allo stesso triangolo

a/SIN(2·x) = b/SIN(x) = c/SIN(α)

In essa:

SIN(α) = SIN(pi - (x + 2·x))----> SIN(α) = SIN(3·x)

a/SIN(2·x) = b/SIN(x) = c/SIN(3·x)

Quindi ci prepariamo i rapporti indicati in (*)

a/c = SIN(2·x)/SIN(3·x)

b/c = SIN(x)/SIN(3·x)

Quindi passiamo alla risoluzione di un'equazione goniometrica:

SIN(2·x)/SIN(3·x) + SIN(x)/SIN(3·x) = 2

(SIN(2·x)/SIN(3·x) + SIN(x)/SIN(3·x) = 2)·SIN(3·x)

SIN(2·x) + SIN(x) = 2·SIN(3·x)

Quindi :

SIN(2·x) = 2·SIN(x)·COS(x)

SIN(3·x) = SIN(2·x + x)=SIN(2·x)·COS(x) + SIN(x)·COS(2·x)=

=2·SIN(x)·COS(x)^2 + SIN(x)·(COS(x)^2 - SIN(x)^2)=

= 4·SIN(x)·COS(x)^2 - SIN(x)

continuo dopo cena....

Riprendo

2·SIN(x)·COS(x) + SIN(x) = 2·(4·SIN(x)·COS(x)^2 - SIN(x))

Con riferimento al cerchio goniometrico pongo:

{SIN(x) = Υ

{COS(x) = Χ

Quindi:

2·Υ·Χ + Υ = 2·(4·Υ·Χ^2 - Υ)

2·Υ·Χ + Υ - 8·Υ·Χ^2 + 2·Υ = 0

scompongo in fattori:

Υ·(2·Χ + 1)·(3 - 4·Χ) = 0

quindi ottengo: Υ = 0 ∨ Χ = 3/4 ∨ Χ = - 1/2

L'unica soluzione compatibile con il problema è quella indicata in grassetto in quanto deve essere:

0 < x < pi/4

Quindi:

COS(x) = 3/4----> x = ACOS(3/4)