è data la circonferenza di diametro AB=4 e centro 0. Sul raggio perpendicolare ad AB considera un punto C tale che CP=CO, con P punto appartenente alla semicirconferenza. Indica con H la proiezione di P su Ab.
a) esprimi la funzione f(X)= CP+OH/PH , con x=cpo (angolo)
b) determina le limitazioni per x e trova per quali valori di x si ha f(x)>1.
5
punti
Livello 0
E' scritto troppo male: zero per o maiuscolo; minuscole e maiuscole a PdL (pene di levriero); e soprattutto un equivoco insanabile per carenza di parentesi.
La stringa "f(X)= CP+OH/PH" vorrebbe significare
* f(x) = |CP| + |OH|/|PH|
oppure
* f(x) = (|CP| + |OH|)/|PH|
ah saperlo, saperlo!
Posto: angolo (CPO) = x, 0 <= x <= pi/3
Essendo C un punto del raggio perpendicolare al diametro AB, P un punto appartenente alla semicirconferenza i casi limite sono:
CO= r, CP=2r ==> i punti C,P sono sul raggio perpendicolare al diametro e quindi x=0
CO = 2r = CP = OP ==> CO è un raggio, il triangolo OPC è equilatero con angoli di 60°. Quindi x=pi/3
Valgono le relazioni:
PH = 2r* sin(pi/2 - x) = 2r*cos(x)
OH = 2r* sin(x)
Applicando il teorema dei seni al triangolo PCO, possiamo determinare CP
CP/sin x = OP/ sin(pi - 2x)
Da cui si ricava:
CP = (2r*sin x) / sin(2x) = r/cos (x)
Possiamo quindi scrivere:
f(x) = [r/cos(x) + 2r*sin(x)]/ (2r*cos(x)) =
= [1+sin(2x)]/(2*cos²(x)) =
= [1+sin(2x)] /[1+cos(2x)]
con 0 < x < pi/3
Imponendo la condizione:
f(x) >1 ==> [1+sin(2x)]/[1+cos(2x)] >1
[sin(2x) - cos (2x)] /(2*cos²(x)) > 0
Il denominatore è un quadrato per cui studiamo il segno del numeratore.
sin(2x) - cos (2x) > 0
- radice (2) * sin (pi/4 - 2x) > 0
Dovrà essere:
sin(pi/4 - 2x) < 0
Con la limitazione 0 < x < pi/3, si ottiene:
pi/8 < x < pi/3
Possiamo calcolare:
f(pi/6) = (1+sin(pi/3))/(1+cos(pi/3) = (2 + radice (3))/3
Possiamo calcolare il perimetro del quadrilatero CPHO per x=pi/3. Il triangolo OCP è equilatero, il punto P è sulla semicirconferenza e il quadrilatero è un trapezio rettangolo con:
Base maggiore = OC = 2r
base minore = PH = 2r* sin(pi/6) = r
Lato obliquo = CP = 2r
H = 2r* cos(pi/6) = r*radice (3)
Il perimetro è quindi:
2p= 5r + r*radice (3)
75845
punti
Genius II
CO= r, CP=2r ==> i punti C,P sono sul raggio perpendicolare al diametro e quindi x=0 perchè ? non ho capito questo passaggio
