[Risolto] Triangolo inscritto in una circonferenza

Facciamo riferimento alla figura seguente:

Risolviamo il problema facendo riferimento proprio al Teorema di Eulero

In un triangolo, ortocentro H baricentro G e circocentro O sono allineati, con ortocentro e circocentro da parti opposte rispetto al baricentro e distanziati in modo che la loro distanza dal baricentro rispetti la relazione HG = 2 OG. La retta che li collega è detta "retta di Eulero".

In questo caso la retta di Eulero coincide quindi con asse delle y, quindi x=0.

La retta passante per A ed H ha equazione: y = 1 + 1/2·x

(facilmente determinabile)

La retta passante per B e C di cui si devono calcolare le coordinate è del tipo:

y = - 2·x + q

Quindi tralasciando i calcoli che lascio volentieri a te si tratta di risolvere:

{y = - 2·x + q

{x^2 + y^2 = 4

quindi: 

[x = (√(20 - q^2) + 2·q)/5 ∧ y = (q - 2·√(20 - q^2))/5,

x = (2·q - √(20 - q^2))/5 ∧ y = (2·√(20 - q^2) + q)/5]

Cioè i punti:

[(√(20 - q^2) + 2·q)/5, (q - 2·√(20 - q^2))/5]

[(2·q - √(20 - q^2))/5, (2·√(20 - q^2) + q)/5]

considero quindi anche il punto A:

[-2, 0]

Per quanto detto sopra, la media delle tre ascisse deve essere nulla:

((√(20 - q^2) + 2·q)/5 + (2·q - √(20 - q^2))/5 - 2)/3 = 0

2·(2·q - 5)/15 = 0

q = 5/2

Quindi:

[x = √55/10 + 1 ∧ y = 1/2 - √55/5, x = 1 - √55/10 ∧ y = √55/5 + 1/2]

è la soluzione del problema proposto.

Ciao.

«IL CIRCOCENTRO SI TROVA NELL ORIGINE MENTTE UN VERTICE A HA COORDINATE ( -2,0)» vuol dire che i vertici richiesti (B, C), dovendo appartenere al circumcerchio
* Γ ≡ x^2 + y^2 = 4
hanno coordinate
* B(b, ± √(4 - b^2)), C(c, ± √(4 - c^2))
con i doppi segni indipendenti, in tutt'e quattro i modi possibili.
Per i calcoli risolutivi scelgo il caso
* B(b, √(4 - b^2)), C(c, √(4 - c^2))
poi tu, se vuoi, puoi sviluppare gli altri tre con lo stesso metodo e vedere se la soluzione che trovo io è unica o no.
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1) Calcolo del baricentro G
* G = (A + B + C)/3 = ((- 2,0) + (b, √(4 - b^2)) + (c, √(4 - c^2)))/3 =
= ((b + c - 2)/3, (√(4 - b^2) + √(4 - c^2))/3)
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2) Calcolo dell'ortocentro H (con uno dei tanti Teoremi di Eulero)
«In ogni triangolo il circumcentro K, il baricentro G e l'ortocentro H sono allineati (sulla Retta di Eulero) e la distanza tra il circumcentro K e il baricentro G è metà della distanza tra il baricentro G e l'ortocentro H.»
cioè, sulla retta r ≡ KG, H è dalla parte opposta di K rispetto a G con |KG| = |GH|/2.
Scrivendo la Retta di Eulero in forma parametrica come luogo del suo cursore E
* r ≡ E(k) = K + k*(G - K) = (0, 0) + k*(((b + c - 2)/3, (√(4 - b^2) + √(4 - c^2))/3) - (0, 0)) =
= k*((b + c - 2)/3, (√(4 - b^2) + √(4 - c^2))/3)
l'ortocentro è
* H = E(3) = ((b + c - 2), (√(4 - b^2) + √(4 - c^2)))
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3) «L ORTOCENTRO H DI CCORDINATE (0,1)» vuol dire
* (b + c - 2 = 0) & (√(4 - b^2) + √(4 - c^2) = 1) ≡
≡ (c = 2 - b) & (√(4 - b^2) + √(4 - (2 - b)^2) = 1) ≡
≡ (c = 2 - b) & (√(4 - b^2) + √(4*b - b^2) = 1)
che non ha soluzione.
Ti tocca proprio sviluppare gli altri tre casi.